用数学归纳法证明不等式

习题课——用数学归纳法

证明不等式和整除性问题一.复习回顾一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.说明：用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的正确性.(2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步,就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无法递推下去,所以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,…,是否正确.在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理,定义加以证明.完成一,二步后,最后对命题做一个总的结论.重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。可总结为：题型一：用数学归纳法证明不等式问题例1.用数学归纳法证明:证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:

则当n=k+1时,即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.例2.证明不等式:证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2,不等式显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即有:则当n=k+1时,即当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都成立.即时提升证:(1)当n=1时,左边=,右边=,由于故不等式成立.(2)假设n=k()时命题成立,即

则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.练习1.求证:题型二：用数学归纳法证明整除性问题证明①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假设n＝k时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，所以f(k＋1)能被36整除．由①②可知，对任意的n∈N＋，f(n)能被36整除．

应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．作业布置2.用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．【变式2】

用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除． 证明

(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．

(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除． 那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1

＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命题成立．练习3:已知求证：证:(1)当n=2时,,

不等式成立.(2)假设当