利用整体法及隔离法求解平衡问题

题型一力的平衡问题的基本解法首先根据共点力平衡条件的推论按比例认真做出物体的受力分析示意图，然后再利用合成法、分解法、正交分解法、力的三角形法，用直角三角形（勾股定理或三角函数）、解斜三角形（正弦定理或余弦定理）或相似三角形的数学方法求解。利用整体法和隔离法求解平衡问题会用整体法和隔离法灵活择研究对象，求各部分加速度相同的联接体中的加速度或合外力时，优先考虑“整体法”；

如果还要求物体间的作用力，再用“隔离法”。并对研究对象正确受力分析，熟练运用力的合成分解法、图解法和正交分解法等常用方法解决平衡类问题。题型二利用整体法和隔离法解物体的平衡问题整体法的优点是研究对象少，未知量少，方程数少，求解简洁。具体应用时，应将两种方法结合起来使用。1.整体法：指对物理问题中的整个系统进行分析、研究的方法。在力学中，就是把几个物体视为一个整体，作为研究对象，受力分析时，只分析这一整体对象之外的物体对整体的作用力（外力），不考虑整体内部之间的相互作用力（内力）。2.隔离法：隔离法是指对物理问题中的单个物体进行分析、研究的方法。在力学中，就是把要分析的物体从相关的物体体系中隔离出来，作为研究对象，只分析该研究对象以外的物体对该对象的作用力，不考虑研究对象对其他物体的作用力。处理连结体问题的方法-----整体法和隔离法在“连接体运动”的问题中，比较常见的连接方式有：①用细绳将两个物体连接，物体间的相互作用是通过细绳的“张力”体现的。②两个物体通过互相接触挤压连接在一起，它们间的相互作用力是“弹力”、“摩擦力”连接在一起。记住以下四句话1.隔离法是解决连接体问题的基本方法2.已知内力或要求内力时，必用隔离法3.求外力、分析外力或与内力无关时，用整体法较简单4.通常情况下，用整体法与隔离法相结合较为简单1.优先考虑整体法例1.如图所示，放置在水平地面上的斜面M上有一质量为m的物体，若m在沿斜面F的作用下向上匀速运动，M仍保持静止，已知M倾角为θ。求地面对M的支持力和摩擦力。解：整体受力分析建立直角坐标系如图由平衡条件可得：Fcosθ-Ff=0Fsinθ+FN-(M+m)g=0∴Ff=Fcosθ

FN=(M+m)g-Fsinθ同类题练习１．求下列情况下粗糙水平面对Ｍ的支持力和摩擦力m匀速下滑M、m均静止M、m均静止，弹簧被伸长m加速下滑，M静止FN=(M+m)gFf=0FN=(M+m)gFf=FFN=(M+m)gFf=F弹FN=(M+m)g-masinθFf=macosθA、有摩擦力作用,摩擦力的方向水平向右B、有摩擦力作用,摩擦力的方向水平向左C、有摩擦力作用,但摩擦力的方向不能确定D、没有摩擦力作用2.在粗糙水平面上有一个三角形木块a,在它的两个粗糙斜面上分别放着质量为m1和m2的两个木块b和c,如图所示,已知m1>m2,三木块均处于静止状态,则粗糙地面对三角形木块（）Ｄ3.如图，质量m＝5kg的木块置于倾角＝37、质量M＝10kg的粗糙斜面上，用一平行于斜面、大小为50N的力F推物体，使木块静止在斜面上，求地面对斜面的支持力和静摩擦力。FN=(M+m)g-Fsin370=120NFf=Fcos370=40N4.如图所示，倾角为θ的三角滑块及其斜面上的物块静止在粗糙水平地面上．现用力F垂直作用在物块上，物块及滑块均未被推动，则滑块受到地面的静摩擦力大小为

（）A．0B．FcosθC．Fsinθ

D．Ftanθ

C5.如图所示，粗糙的水平地面上有一斜劈，斜劈上一物块正在沿斜面以速度v0匀速下滑，斜劈保持静止，则地面对斜劈的摩擦力（）A．等于零B．不为零，方向向右C．不为零，方向向左D．不为零，v0较大时方向向左，v0较小时方向向右v0A6.用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图1—2所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是Ａ例2.如图所示，位于水平桌面上的物块P，由跨过定滑轮的轻绳与物块Q相连，从滑轮到P和到Q的两段绳都是水平的。已知Q与P之间以及P与桌面之间的动摩擦因数都是μ，两物块的质量都是m，滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦都不计，若用一水平向右的力F拉P使它做匀速运动，则F的大小为（）A.4μmgB.3μmg

C.2μmgD.μmg解析：选整体为研究对象，有F=2T+2μmg,选Q为研究对象，有T=μmg，因此有F=4μmg。因此选项A正确。FQPA例3.有一个直角支架AOB，AO是水平放置，表面粗糙．OB竖直向下，表面光滑．OA上套有小环P，OB套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可以忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示．现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO杆对P的支持力FN和细绳上的拉力FT的变化情况是：（

）A．FN不变，FT变大B．FN不变，FT变小

C．FN变大，FT变大D．FN变大，FT变小ABOPQ解析：选择环P、Q和细绳为研究对象．在竖直方向上只受重力和支持力FN的作用，而环动移前后系统的重力保持不变，故FN保持不变．取环Q为研究对象，其受力如图示．FTcosα=mg，当P环向左移时，α将变小，故FT变小，正确答案为B。BmgFN1FTα２.整体法和隔离法交替使用变形：有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连，并在某一位置平衡（如图），现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力N和摩擦力f的变化情况是：（）A．N不变，f变大B．N不变，f变小C．N变大，f变大D．N变大，f变小B小结：复杂的物理问题大多涉及若干个物体或物体若干个过程，隔离法是处理复杂问题的基本方法。但如果问题能用整体法处理，则往往比只用隔离法简便得多，所以处理复杂物理问题时，研究对象能以整体为对象，先以整体为对象，研究过程能取整个过程就取整个过程。（若选取某个与所求力有关的物体为研究对象不能顺利解答时，应注意变换研究对象）例3.如图所示，质量为ｍ、顶角为α的直角劈和质量为Ｍ的正方体放在两竖直墙和水平面之间，处于静止状态.m与M相接触，若不计一切摩擦，求（1）水平面对正方体的弹力大小；（2）墙面对正方体的弹力大小。αmM解（1）对M和m组成的系统进行受力分析，根据平衡条件得水平面对正方体的弹力N=（M+m）g①αmMMgNF1F2αF1=F2cosα②

Mg+F2sinα=N③（2）对M进行受力分析联立以上三式解出墙面对正方体的弹力大小F1=mgcotα④7.质量相同的四木块叠放在一起，如图所示，静止在水平地面上，现有大小相等、方向相反的力F分别作用的第2块和第4块木块上，四木块仍然静止，则从上到下各层接触面间的摩擦力多大？00FF8.如图所示，三个物体均静止，F=2N（方向水平），则A与B之间，B与C之间，C与地面之间的摩擦力分别为（）A.0、0、0B.0、1N、1NC.0、2N、2ND.2N、2N、2NABCFc

9.如下图所示，在两块相同的竖直木板之间，有质量均为m的四块相同的砖，用两个大小均为F的水平力压木板，使砖静止不动，则：(1)第1块砖和第4块砖受到木板的摩擦力各为多大?(2)第2块砖和第3块砖之间的相互作用的摩擦力为多大?(3)第3块砖受到第4块砖的摩擦力为多大?解:(1)以四块砖为对象得：f=2mg方向向上(2)以1、2块砖为对象得：f1=0(3)以第四块砖为对象得：f4=mg方向向上10.质量均为m的a、b两木块叠放在水平面上，如图所示，a受到斜向上与水平面成θ角的力F作用，b受到斜向下与水平面成θ角等大的力F作用，两力在同一竖直平面内，此时两木块保持静止，则()A.b对a的支持力一定等于mgB.水平面对b的支持力可能大于2mgC.a、b之间一定存在静摩擦力D.b与水平面之间可能存在静摩擦力C11.如图所示，在一根水平的粗糙的直横梁上，套有两个质量均为m的铁环，两铁环系有等长的细绳，共同拴着质量为M的小球，两铁环与小球均保持静止。现使两铁环间距离增大少许，系统仍保持静止，则水平横梁对铁环的支持力N和摩擦力f将（

）A．N增大，f不变B．N增大，f增大C．N不变，f不变D．N不变，f增大D

12.如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上．现用水平力F拉着绳子上的一点O，使小球B从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A始终保持在原位置不动．则在这一过程中，环对杆的摩擦力f和环对杆的压力N的变化情况是：（）A．f不变，N不变B．f增大，N不变C．f增大，N减小D．f不变，N减小B13.如图所示，质量为m的球用细绳挂在质量为M的木块下，木块套在水平杆上，木块与杆间的动摩擦因数为，水平拉力F为多大时才能拉着球和木块一起做匀速运动，这时绳与水平方向的夹角多大？

整体法求的水平拉力F=（m+M）g隔离体法求得夹角，对m进行受力分析14.如图所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ。质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求地面对三棱柱支持力和摩擦力各为多少？ABθ隔离体法求得f=mgtanθ整体法求得N=(M+m)g15.如图所示，两只相同的均匀光滑小球置于半径为R的圆柱形容器中，且小球的半径r满足2r>R，则以下关于A、B、C、D四点的弹力大小说法中正确的是()A．D点的弹力可以大于、等于或小于小球的重力B．D点的弹力等于A点的弹力(指大小)C．B点的弹力恒等于一个小球重力的2倍D．C点的弹力可以大于、等于或小于小球的重力ABC效果相同吗？在解答过程较为复杂的综合题时，常常将整体法与隔离法交叉地、联合地使用．或者叫做不拘一格灵活运用，怎样有利就怎样用．16.如图所示，质量为M的木板悬挂在滑轮组下，上端由一根悬绳C固定在横梁下．质量为m的人手拉住绳端，使整个装置保持在空间处于静止状态．求（1）悬绳C所受拉力多大？（2）人对木板的压力(滑轮的质量不计)．[说明]

本题能成立的条件是3m>M，即m>M/3．这表明人的质量不能太小．

[思考]你觉得要实现本题的状态必须要满足什么条件?(1)整体法求得拉力，F=（m+M）g(2)对人：N-mg-F1=0F1=mg-N

对木板：N+Mg=F1+2F1=3(mg-N)

∴N=(3mg-Mg)/417.如下图所示，人重600N，木板重400N，人与木板、木板与地面间动摩擦因数皆为0.2，现在人用水平力拉绳，使他与木块一起向右匀速运动，则（）A.人拉绳的力是200NB.人拉绳的力是100NC.人的脚给木块的摩擦力向右D.人的脚给木块的摩擦力向左把人和木板看做是一个整体，这个整体一起向右匀速运动，和外力为零。整体所受的外力有，地面给的摩擦力，大小为200牛，还有两段绳子给的拉力。所以每根绳子上面所承受的拉力是100牛。用隔离体法对木板进行分析。木板受到向左的摩擦力大小为200牛，受到向右的拉力为100牛，则还应该受到人给木板的摩擦力方向向右，大小也应该是一百牛。或者直接对人进行受力分析，受到向右的绳子拉力，还能保持匀速运动，必然会有向左的摩擦力来平衡，摩擦力是木板给的，所以人对木板的摩擦力方向应该向右。BC18.如图所示，测力计、绳子和滑轮的质量都不计，摩擦不计，物体A重40N，物体B重10N，以下说法正确的是（）A.地面对A的支持力是30NB.测力计示数20NC.物体A受到的合外力是30ND.测力计示数30NAB19.在图中有相同两球放在固定的斜面上，并用一竖直挡板MN挡住，两球的质量均为m，斜面的倾角为α，所有摩擦均不计（）BCD先用整体法分析挡板对B球的弹力的大小。弹力的方向始终不变，两球对斜面的压力随着夹角α的变化而变化。再用隔离体法对A进行受力分析，随着夹角的变化，B对A的力以及A对斜面的力都在变化，但是这两个力的夹角始终是九十度20.如图，两根直木棍AB和CD相互平行，斜靠在竖直墙壁上固定不动，一根水泥圆筒从木棍的上部匀速滑下．若保持两木棍倾角不变，将两棍间的距离减小后固定不动，仍将水泥圆筒放在两木棍上部，则水泥圆筒在两木棍上将：()A．仍匀速滑下B．加速滑下C．可能静止D．一定静止重力方向，支持力方向，摩擦力方向都没有变，那么所有力的大小也就都没有变。大家可能认为随着两木棍间距离的变化，泥筒给木棍的压力可能也会随之变化，但是，需要注意的是，木棍给泥筒竖直方向上的作用力始终没有变化，永远都是等于重力，变化的只是水平方向的分力。A 1、当用隔离法时，必须按题目的需要进行恰当的选择隔离体，否则将增加运算过程的繁琐程度。2、只要有可能，要尽量运用整体法。因为整体法的好处是，各隔离体之间的许多未知力，都作为内力而不出现，对整体列一个方程即可。

3、用整体法解题时，必须满足一个条件，即连结体各部分都处于平衡态。如果不是这样，便只能用隔离法求解。

4、往往是一道题中要求几个量，所以更多的情况是整体法和隔离法同时并用，这比单纯用隔离法要简便。小结：隔离法和整体法是解动力学问题的基本方法。应注意：

动态平衡问题的特征是指物体的加速度和速度始终为零。解决动态平衡问题的方法一般采用解析法和图解法。解析法是列平衡方程，找出各力之间的关系进行判断；图解法是利用平行四边形定则或三角形定则，做出若干平衡状态的示意图，根据力的有向线段的长度和角度的变化确定力的大小和方向的变化情况。题型三动态平衡问题的求解方法

例1.用与竖直方向成θ角（θ＜45°）的倾斜轻绳a和水平轻绳b共同固定一个小球，这时绳b的拉力为F1。现保持小球在原位置不动，使绳b在原竖直平面内逆时转过θ角后固定，绳b的拉力变为F2；再转过θ角固定，绳b的拉力为F3，则（）A．F1=F3>F2B．F1<F2<F3C．F1=F3<F2D．绳a的拉力减小θ1θ23θba解法一：（解析法）GFaθαFb当α=0时当α=θ时当α=2θ时故Fa一直在减小，F1=F3>F2，选项A、D正确A

D解法二：（图解法）以小球为研究对象，球受重力G、绳a的拉力Fa和绳b的拉力Fb，因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三力构成封闭三角形，当绳b逆时针转过θ、2θ角时，Fb的方向也逆时针转动，做出动态图如图所示，Fb先减小后增大，由对称性看出，F1=F3>F2，而Fa一直减小。故选项A、D正确。GFaθF1θθFbF2F3(2012·庆阳模拟)如图所示，把球夹在竖直墙面AC和木板BC之间，不计摩擦，设球对墙的压力为FN1，球对板的压力为FN2，在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法中正确的是()A.FN1增大，FN2减小B.FN1减小，FN2增大C.FN1增大，FN2增大D.FN1减小，FN2减小【解析】选D.如图所示，利用图解法可知FN1、FN2都减小，故D正确.(2012·庆阳模拟)如图所示，把球夹在竖直墙面AC和木板BC之间，不计摩擦，设球对墙的压力为FN1，球对板的压力为FN2，在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法中正确的是()A.FN1增大，FN2减小B.FN1减小，FN2增大C.FN1增大，FN2增大D.FN1减小，FN2减小D习.如图2－4－10所示，用绳OA、OB和OC吊着重物P处于静止状态，其中绳OA水平，绳OB与水平方向成θ角．现用水平向右的力F缓慢地将重物P拉起，用FA和FB分别表示绳OA和绳OB的张力，则(

)A．FA、FB、F均增大

B．FA增大，FB不变，F增大C．FA不变，FB减小，F增大 D．FA增大，FB减小，F减小图2－4－10解析：把OA、OB和OC三根绳和重物P看作一个整体，整体受到重力mg，A点的拉力FA，方向沿着OA绳水平向左，B点的拉力FB，方向沿着OB绳斜向右上方，水平向右的拉力F而处于平衡状态，有：FA＝F＋FBcosθ，FBsinθ＝mg，因为θ不变，所以FB不变．再以O点进行研究，O点受到OA绳的拉力，方向不变，沿着OA绳水平向左，OB绳的拉力，大小和方向都不变，OC绳的拉力，大小和方向都可以变化，O点处于平衡状态，因此这三个力构成一个封闭的矢量三角形(如图)，刚开始FC由竖直方向逆时针旋转到图中的虚线位置，因此FA和FC同时增大，又FA＝F＋FBcosθ，FB不变，所以F增大，所以B正确．B例2．如图所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮。今缓慢拉绳使小球从A点滑到半球顶点，则此过程中，小球对半球的压力FN及细绳的拉力FT大小变化情况是（

）A．FN变大，FT变大B．FN变小，FT变大C．FN不变，FT变小D．FN变大，FT变小解析：小球每一时刻都处于平衡状态，作出小球的受力分析示意图，根据平衡条件，由矢量三角形和几何三角形相似，可得CFNFTGORh可知选项C正确。例3．如图，在具有水平转轴O的圆柱体A点放一重物P，圆柱体缓慢地匀速转动，P随圆柱体从A转至A’的过程中与圆柱体始终保持相对静止，则P受到的摩擦力Ff的大小变化情况，下列各图中正确的是（）OAA′PFfFfFfFfttttABCDA

2、极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。解决这类问题的方法常用解析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。另外，图解法也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。题型四平衡物体的临界状态与极值问题1、临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述。解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后再根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。例1.如图所示，一根轻绳上端固定在O点，下端拴一个重为G的钢球A，球处于静止状态．现对球施加一个方向向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中的每一刻，都可以认为球处于平衡状态，如果外力F方向始终水平，最大值为2G，试求：（1）轻绳张力T的大小取值范围；（2）在乙图中画出轻绳张力与cosθ的关系图象．T乙OcosO甲FF解：（1）当水平拉力F=0时轻绳处于竖直位置，绳子张力最小

当水平拉力F=2G时，绳子张力最大.因此轻绳的张力范围是（2）

“极限法”求解临界问题【例证3】物体A的质量为2kg，两根轻细绳b和c的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体A上，在物体A上另施加一个方向与水平线成θ角的拉