山西省忻州市韩曲中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

山西省忻州市韩曲中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（

）

A.

B．

C.

D．参考答案：C2.已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i参考答案：D【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由题意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，则a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故选D【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于

A．30

B．45

C．90

D．186参考答案：C略4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知直线x﹣y+2=0与圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4（圆心为C）交于点A，B，则∠ACB的大小为（）A．30° B．60° C．90° D．120°参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线的距离，利用三角函数，即可得出结论．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==，圆的半径为2，∴cos∠ACB=，∴∠ACB=90°，故选C．6.在R上定义运算*：a*b=ab+2a+b,则满足x*(x-2)<0的实数x的取值范围为（

）

A．（-2,1）

B．（0,2）

C．

D．（-1,2）参考答案：A7.复数的值是

（）A．-1 B．1 C． D．参考答案：A略8.设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）参考答案：D考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：分类讨论．分析：分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．解答：解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选D．点评：本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．9.函数y=的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8 B．6 C．4 D．2参考答案：A【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【分析】函数y1=与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：函数y1=，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．10.已知函数，的最小值为a，则实数a的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：C因为的最小值为且时，故恒成立，也就是，当时，有；当时，有，故，所以选C．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设复数z满足:z(2－i)=4+3i（其中i为虚数单位），则z的模等于

.参考答案：；12.给出下列六个命题：①不等式x2－4ax＋3a2＜0的解集为{x|a＜x＜3a}；②若函数y＝f（x＋1）为偶函数，则y＝f（x）的图象关于x＝1对称；③若不等式|x－4|＋|x－3|＜a的解集为空集，必有a≤1；④函数y＝f（x）的图象与直线x＝a至多有一个交点；⑤若角α，β满足cosα·cosβ＝1，则sin（α＋β）＝0;⑥命题“”的否定是“”．其中所有正确命题的序号是

．参考答案：②③④_⑤_略13.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为_________.参考答案：略14.函数的定义域为

．参考答案：15.设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为

.参考答案：64试题分析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由得，解得，所以，于是当n=3或n=4时，a1a2…an取得最大值26=64.16.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、，asinAsinB+bcos2A=2a，则角A的取值范围是．参考答案：（0，]【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系化简，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简得：b=2a，由余弦定理表示出cosA，整理后利用基本不等式求出cosA的范围，再由A为三角形的内角，且根据余弦函数的单调性，即可得到A的范围．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理化简已知的等式得：sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=2sinA，∴sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a，由余弦定理得：cosA===≥=，∵A为三角形ABC的内角，且y=cosx在（0，π）上是减函数，∴0＜A≤，则A的取值范围是：（0，]．故答案为：（0，]．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，基本不等式，以及余弦函数的单调性，熟练掌握定理是解本题的关键．17.函数在区间上的最大值是________.参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a≥2时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）将a=1代入函数求出导函数得到单调区间，从而求出极值，（Ⅱ）先求出导函数，再分别讨论a＞2，a=2，a＜2时的情况，综合得出单调区间；（Ⅲ）由（Ⅱ）得；a∈（2，3）时，f（x）在[2，3]上递减，x=1时，f（x）最大，x=2时，f（x）最小，从而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（2）=﹣+ln2，进而证出ma+ln2＞﹣+ln2．经整理得m＞﹣，由2＜a＜3得；﹣＜﹣＜0，从而m≥0．【解答】解；（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，令f′（x）=0，得x=1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）极小值=f（1）=1，无极大值；（Ⅱ）f′x）=（1﹣a）x+a﹣=，当=1，即a=2时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上递减；当＜1，即a＞2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜，或x＞1，令f′（x）＞0，得＜x＜1，当＞1，即a＜2时，矛盾舍，综上，a=2时，f（x）在（0，+∞）递减，a＞2时，f（x）在（0，）和（1，+∞）递减，在（，1）递增；（Ⅲ）由（Ⅱ）得；a∈（2，3）时，f（x）在[1，2]上递减，x=1时，f（x）最大，x=2时，f（x）最小，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（2）=﹣+ln2，∴ma+ln2＞﹣+ln2．a＞0时，经整理得m＞﹣，由2＜a＜3得；﹣＜﹣＜0，∴m≥0．19.对于无穷数列{an}，{bn}，若－…，则称{bn}是{an}的“收缩数列”.其中，，分别表示中的最大数和最小数.已知{an}为无穷数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是{an}的“收缩数列”.（1）若，求{bn}的前n项和；（2）证明：{bn}的“收缩数列”仍是{bn}；（3）若，求所有满足该条件的{an}.参考答案：（1）（2）证明见解析（3）所有满足该条件的数列为【分析】（1）由可得为递增数列，，，从而易得；（2）利用，，可证是不减数列（即），而，由此可得的“收缩数列”仍是.（3）首先，由已知，当时，；当时，，；当时，（*），这里分析与的大小关系，，均出现矛盾，，结合(*)式可得，因此猜想（），用反证法证明此结论成立，证明时假设是首次不符合的项，则，这样题设条件变为（*），仿照讨论的情况讨论，可证明．【详解】解：（1）由可得递增数列，所以，故的前项和为.（2）因为，，所以所以.又因为，所以，所以的“收缩数列”仍是.（3）由可得当时，；当时，，即，所以；当时，，即（*），若，则，所以由（*）可得，与矛盾；若，则，所以由（*）可得，所以与同号，这与矛盾；若，则，由（*）可得.猜想：满足的数列是：.经验证，左式，右式.下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件.法1：由上述时的情况可知，时，是成立的.假设是首次不符合的项，则，由题设条件可得（*），若，则由（*）式化简可得与矛盾；若，则，所以由（*）可得所以与同号，这与矛盾；所以，则，所以由（*）化简可得.这与假设矛盾.所以不存在数列不满足的符合题设条件.法2：当时，，所以即由可得又，所以可得，所以，即所以等号成立的条件是，所以，所有满足该条件的数列为.【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查学生创新意识．第（1）（2）问直接利用新概念“收缩数列”结合不等关系易得，第（3）问考查学生的从特殊到一般的思维能力，考查归纳猜想能力，题中讨论与大小关系是解题关键所在．本题属于难题．20.（14分）已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx．（a∈R）（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围；（3）设g（x）=f（x）﹣2ax，h（x）=x2﹣2bx+．当a=时，若对于任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），求实数b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】分类讨论；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；（2）令，由题意可得g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．求出g（x）的导数，对a讨论，①若，②若，判断单调性，求出极值点，即可得到所求范围；（3）由题意可得任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，只要g（x1）max≤h（x2）max，运用单调性分别求得g（x）和h（x）的最值，解不等式即可得到所求b的范围．【解答】解：（1）f（x）=﹣x2+lnx的导数为f′（x）=﹣x+，f（x）在x=1处的切线斜率为0，切点为（1，﹣），则f（x）在x=1处的切线方程为；（2）令，则g（x）的定义域为（0，+∞）．在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立.①①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，，当x2＞x1=1，即时，在（0，1）上有g'（x）＞0，在（1，x2）上有g'（x）＜0，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0，此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；当x2≤x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，由此求得a的范围是[，]．综合①②可知，当a∈[，]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．（3）当时，由（Ⅱ）中①知g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数，所以对任意x1∈（0，2），都有，又已知存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），即存在x2∈[1，2]，使，即存在x2∈[1，2]，，即存在x2∈[1，2]，使．因为，所以，解得，所以实数b的取值范围是．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题及任意性和存在性问题，注意转化为求最值问题，考查运算能力，属于中档题．21.（14分）已知数列{}的前项和,（Ⅰ）求数列的通项公式-；（Ⅱ）设