山西省忻州市忻府区三交镇三交中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

山西省忻州市忻府区三交镇三交中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A． B．4e2 C．2e2 D．e2参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积．【解答】解：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e2）∴f（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选D．2.设已知等差数列{an}满足a1+a2+…+a101=0，则有（）A．a1+a101＞0 B．a2+a102＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51参考答案：C考点： 等差数列的性质．专题： 计算题；压轴题．分析： 根据特殊数列an=0可直接得到a3+a99=0，进而看得到答案．解答： 解：取满足题意的特殊数列an=0，即可得到a3+a99=0选C．点评： 本题主要考查等差数列的性质．做选择题时要合理选择最恰当的方法可节省做题时间．3.设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左右两支于点M，N，连结，，若，，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．参考答案：B结合题意可知，设，则，，则结合双曲线的性质可得，，，代入，解得，∴，，，对三角形运用余弦定理，得到，解得．故选B．4.平面向量与的夹角为60°，

则（

）A．

B.

C.4

D.12参考答案：B略5.设全集U=R，集合A={x|1＜x＜4}，B={1，2，3，4，5}，则（CUA）∩B=（）A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{5} D．{1，4，5}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】找出全集R中不属于A的部分，求出A的补集，找出A补集与B的公共部分，即可确定出所求的集合．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|1＜x＜4}，∴CUA={x|x≤1或x≥4}，∵B={1，2，3，4，5}，则（CUA）∩B={1，4，5}．故选D6.的三个内角A，B，C所对的边分别为，则

A.

B.

C.

D.参考答案：B根据正弦定理可知，即，所以，选B.7.已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，]C．（，2） D．[，）参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】根据若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，得到函数f（x）在区间（0，e]上不单调，从而求得a的取值范围．【解答】解：∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．，当时，f′（x）=0，f（x）在处取得最小值，由题意知，f（x）在（0，e]上不单调，所以，解得，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足条件且f（e）≥1因为f（1）=0，所以恒成立，由f（e）≥1解得综上所述，a的取值范围是．故选：A．8.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时,f（x）=2x2－x，则f（l）=

A．3

B．-1

C．1

D．-3参考答案：9.（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=3B．a=4C．a=5D．a=6参考答案：A【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=，k=4时，由题意此时满足条件4＞a，退出循环，输出S的值为，结合选项即可得解．解：模拟执行程序，可得S=1，k=1不满足条件k＞a，S=，k=2不满足条件k＞a，S=，k=3不满足条件k＞a，S=，k=4由题意，此时满足条件4＞a，退出循环，输出S的值为，故选：A．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．10.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△的面积为

（A）4

（B）8

（C）16

（D）32参考答案：D双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为，所以，即。所以抛物线方程为，焦点,准线方程，即,设,过A做垂直于准线于M,由抛物线的定义可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等于

参考答案：0略12.把函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为________．参考答案：y＝2sin2x13.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中.对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.⑴若，则

；⑵若，且，则数列的通项公式为

__；参考答案：⑴4015；⑵.14.已知奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=log2（x+3），则f（﹣1）=．参考答案：﹣2考点：对数的运算性质；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据给出的函数解析式求出f（1）的值，然后利用函数的奇偶性求f（﹣1）．解答：解：因为当x＞0时，f（x）=log2（x+3），所以f（1）=log2（1+3）=2．又函数f（x）为奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故答案为﹣2．点评：本题考查了对数的运算性质，考查了函数的奇偶性，是基础的运算题．15.已知，函数若关于x的方程恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是 .参考答案：(4,8)分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.

16.曲线C：在＝1处的切线方程为_______．参考答案：17.已知集合若，则实数的取值范围是A．{1} B．（—，0） C．（1，+）

D．（0，1）参考答案：D三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（为常数，2.71828……是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（1）求的值；（2）求的单调区间；（3）设，其中为的导函数，证明：对任意，.参考答案：解：(1)由得由于曲线在处的切线与x轴平行，所以，因此…………3分（2）由(1)得，令当时，；当时，又，所以时，；时，.

因此的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为………………6分(3)证明因为，所以因此对任意等价于

由（2）知所以因此当时，单调递增；当时单调递增.所以的最大值为

故设因为，所以时，单调递增，故时，即所以因此对任意……………12分略19..设函数(为自然对数的底数)，（1）证明：；（2）当时，比较与的大小，并说明理由；（3）证明：（）．参考答案：解：（1）证明：设，所以当时，，当时，，当时，．即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值因为，所以对任意实数均有．即，所以-----------------------------4分（2）解：当时，．用数学归纳法证明如下：①当时，由（1）知。②假设当（）时，对任意均有，令，，因为对任意的正实数，，由归纳假设知，．即在上为增函数，亦即，因为，所以．从而对任意，有．即对任意，有．这就是说，当时，对任意，也有．由①、②知，当时，都有．证明1：先证对任意正整数，．由（2）知，当时，对任意正整数，都有．令，得．所以．再证对任意正整数，．要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立．即要证明对任意正整数，不等式（*）成立……10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式①当时，成立，所以不等式（*）成立．②假设当（）时，不等式（*）成立，即．……………11分则．因为

所以．………13分这说明当时，不等式（*）也成立．由①、②知对任意正整数，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数，成立

---14分

略20.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣没兴趣合计男

55女

合计

（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．附表：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635参考答案：（1）根据已知数据得到如下列联表

有兴趣没有兴趣合计男451055女301545合计7525100根据列联表中的数据，得到所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，则从这5人中随机抽取3人，共有（A，m，n）（B，m，n）（C，m，n）（A、B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）（A、B、C）10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A、B、C）1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A、B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）6种，所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求事件的概率.

21.（本小题满分14分）已知，设函数

2,4,6

（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）当时，求的值域.参考答案：解：（1）

∴的最小正周期为