小学奥数-几何模型分类总结(鸟头、燕尾、风筝、一般模型等)

目录TOC\o"1-3"\h\u17627目录 13021模型一——《等积变换》 219636一、知识点梳理 229245二、例题精讲 33226三、自我提升 54489四、答案与解析 726585模型二——《一半模型》 1120994一、知识点梳理 1114056二、例题精讲 137688三、自我提升 1526463四、答案与解析 173743模型三——《鸟头（共角）模型》 1920673一、知识点梳理 1923975二、例题精讲 203143三、自我提升 2221218四、答案与解析 2420560模型四——《蝴蝶模型》 2618995一、知识点梳理 265169二、例题精讲 279397模型五——《沙漏模型》 3310083一、知识点梳理 3317303二、例题精讲 3432627三、自我提升 3625320四、答案与解析 3823069模型六——《燕尾模型》 397095一、知识点梳理 3932108二、例题精讲 4020528三、自我提升 4228138四、答案与解析 446555模块七——《长、正方体、圆柱、圆锥》 4629462一、知识点梳理 4620335二、例题精讲 4717592三、自我提升 4914288四、自我提升答案 5120443模型八——《圆、扇形》 5313621一、知识点梳理 5314437二、例题精讲 548715三、自我提升 569386四、答案与解析 58

模型一——《等积变换》一、知识点梳理二、例题精讲三、自我提升四、答案与解析

模型二——《一半模型》一、知识点梳理一半模型其实是等积变换模型的延伸，只是将三角形和平行四边形进行了整合与综合考查，但是学生往往遇到此类题目之后很难想到用等积变换，所以我们专门提炼出一半模型，帮助学生加深此部分知识点的理解，提高应用能力。平行四边形同理不规则图形拓展图形（比例应用）常见图形的认识二、例题精讲例1如图所示，四边形与都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．例2如例3如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2．长方形EFGH的面积为．例4图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．例5正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？例6如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积例7如图，有三个正方形的顶点、、恰好在同一条直线上，其中正方形的边长为10厘米，求阴影部分的面积．三、自我提升1、右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积．2、如图，与均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为．3、长方形ABCD的面积是2011平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积．4、已知正方形边长为10，正方形边长为6，求阴影部分的面积．5、右图中，和是两个正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面积等于6平方厘米，求五边形的面积．如图，正方形ABCG和正方形FCDE并排放置，BE与FC相交于点H，已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是_________________平方厘米？四、答案与解析【分析】如图所示，连接AD，则BC平行AD，三角形ABC和三角形BCD等底等高，因此三角形ABC的面积就等于小正方形的面积的一半，据此即可得解．解：据分析可知：

4×4÷2=8（平方厘米）；

答：三角形ABC的面积是8平方厘米．【分析】方法一：如图所示，连接AF和BD，则AF平行BD，三角形FAD与三角形FAB等底等高，即面积相同。又因三角形FAD与三角形FAB有共同的部分，即三角形FAH。所以三角形FHD与三角形HAB面积相同等于6平方厘米。方法二：根据梯形面积公式和三角形面积公式可得：梯形GFDA的面积=三角形GBF的面积，都减去公共部分AHFG的面积，可得图中阴影部分的面积=三角形ABH的面积．解：梯形GFDA的面积=（GF+AD）×AG÷2，

三角形GBF的面积=（AG+AB）×GF÷2，

因为ABCD与AEFG均为正方形，

所以（GF+AD）×AG÷2=（AG+AB）×GF÷2，

则梯形GFDA的面积=三角形GBF的面积，

则阴影部分的面积=三角形ABH的面积=6平方厘米．

答：图中阴影部分的面积是6平方厘米．【分析】根据题意可连接DF，三角形ADF和长方形ABCD是同底等高的，因此可知三角形ADF的面积是长方形ABCD面积的一半，因为点D是EG的中点，AE平行与FG，所以三角形ADF也是梯形AFGE面积的一半，因为点D是线段EG的中点，所以三角形ADE和三角形DGF的面积就为梯形AFGE面积的一半，即梯形的面积等于长方形的面积，据此解答即可．解：如图，连接DF．

三角形ADF=2011÷2=1005.5（平方厘米），

因为点D为EG的中点，

所以三角形AED+三角形DFG=1005.5（平方厘米），

梯形AFGE的面积：1005.5+1005.5=2011（平方厘米），

答：梯形AFGE的面积是2011平方厘米．【分析】连接IC、FC，如下图，由正方形的对角线易知IC∥DF；等积变换得到：三角形DFI的面积等于三角形DFC的面积，由此求出三角形DFI的面积。解：连接IC，FC，∠FDC=∠ICD由正方形的对角线易知IC平行DF；等积变换得到：三角形DFI的面积=三角形DFC的面积=10×4×0.5=20。5、【分析】说明：这道题等后面学习了所有模型之后会变得更简单，但因为我们才讲到了一半模型和等积变换模型，所以暂时用此方法来接。链接FG和AG，所以两条对角线AC平行FG，所以三角形ACG和三角形ACF等底等高面积相同。因为三角形CGH的面积是6所以三角形AHF的面积也是6（三角形ACH是两个三角形的共同部分）。又因为FH:HC=2:1，所以三角形FHG的面积是12.66366331.5解：五边形的面积=3+1.5+3+6+18×2=49.5.6、【分析】将三角形GHD的D点移动到E点，等底等高，可形成大三角形EBG。再连接对角线EC，则EC平行于GB，则三角形BGE面积等于三角形BGC，三角形又占正方形ABCG的一半，答案为18平方厘米。6×6÷2=18.

模型三——《鸟头（共角）模型》一、知识点梳理常见模型鸟头定理为什么又叫共角定理呢？其实是我们开始就叫反了，真名就叫共角定理，因为这类模型的特点是两个具有相同角或者是两角互补的三角形之间的特殊线段关系，又因为模型很像鸟头，为了方便学生记忆，所以起了一个形象的名字，叫鸟头。接下来我们一起证明和认识一下以下几种模型。模型一：根据等积变换模型中等高不等底，我们很容易证得：为了很好的应用线段比，链接EC（也可以是FB），可得，模型二：三角形ABC和三角形AEF不在一个三角形内，不便研究，所以链接EC，构造一个大三角形EBC，根据等积变换模型可得模型三：三角形ABC和三角形AEF不在一个三角形内，不便研究，所以链接EC或者FB，构造一个大三角形EFC或者EFB，根据等积变换模型可得模型四：关键是∠FAB+∠EAC=180º，即∠BAC+∠FAE=180º（互补）。将三角形AEF旋转，使FA和AB重合或使EA和AC重合，可得到模型二。证明略。二、例题精讲三、自我提升求三角形CDE的面积？求三角形CDE的面积？四、答案与解析

模型四——《蝴蝶模型》一、知识点梳理二、例题精讲自我提升

模型五——《沙漏模型》一、知识点梳理所谓的沙漏（金字塔）模型，就是指形状相同，大小不同的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型，如图所示（第一个图翻上去跟第二个图是一样的长相）：沙漏模型金字塔模型如果DE平行BC，那么沙漏模型金字塔模型这样的两个三角形的面积比等于它们的边长比的平方二、例题精讲三、自我提升四、答案与解析【分析】要根据三角形DEC，求解三角形DEO，所以需要知道OE和EC的线段关系。构造一个沙漏，即连接OF，因为在三角形BDC中，O和F都为中点，所以OF是中位线，即平行于DC且等于1/2DC。因为OF：DC=1:2，所以OE：EC=1:2，又三角形DEC等于6，所以DEO等于3（平方厘米）66【分析】根据题意，S2=S4=2，S2:S3=2：4=1：2,因为对应的线段相同，所以S1：S4=1：2，又因S4=2，所以S1=1。所以题型面积为1+2+4+2=9.【分析】因为CD：AB=4:6=2:3，根据沙漏模型，CD：AB=DO:OB=OC:OA=2：3，又SDOC：SABO:SOBC：SADO=22:33:2×3：2×3=4:9:6:6，则SCOB=5×6/25=1.2【分析】因为BE:AD=1:3，根据沙漏模型，EF：AF=1：3，又根据正方形鸟头，三角形ABE面积=10×10×1/3×1/2,则阴影面积=10×10×1/3×1/2×3/4=12.5【分析】因为CE:BC=CE：AD=1：2，根据沙漏模型，CE:AD=CF:FD=1：2.DF是FC的2倍。【分析】链接AC、HC、GC。因为AO=OC，所以S△AGH=S△CGH。又因为BE：AD=1：2;DF:AB=1:3.根据沙漏模型，DH:HB=1：3.BG:GD=1：2.再根据鸟头模型：设三角形HDF为1份。则三角形HFC=2份，三角形HBC=9份，三角形BDC=12份，平行四边形面积=24份。三角形BEG=12×1/2×1/3=2份，三角形GEC=2份。三角形HGC=12-1-2-2-2=5份。所以阴影面积=1+2+5=8份。所以占8÷24=1/3.

模型六——《燕尾模型》一、知识点梳理S△S△BOF二、例题精讲三、自我提升BDEBDE四、答案与解析【分析】根据燕尾模型，BF：BC=1：1,所以S△DEC=S△BDC=6.又因为BO:OD=1：1，所以S△DEC=S△BEC=6又因为BF=FC，所以S△BEF=3.故三角形BDF面积等于9。

模块七——《长、正方体、圆柱、圆锥》一、知识点梳理长方体长方体的表面积：；长方体的体积：．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为，那么：，．圆柱圆锥注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长常考题型水中浸物（阿基米德原理应用）——铁块浸没不规则体积求体积或是表面积常用办法直接法间接法：①整体减空白，②平移，③割补二、例题精讲例1小明星期天请6名同学来家做客，他选用一盒用长方体（如下图（1））包装的饮料招待同学，给每个同学倒上一满杯（如下图（2））后，他自己还有喝的饮料吗？（写出主要过程）6厘米6厘米15厘米12厘米8厘米底面积20cm2（1）（2）例2如下图，长方形铁皮的长是24.84分米，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱体油桶（接头处忽略不计）。这个油桶的表面积是多少平方分米？（取3.14）例3如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，挖掉的小立方体的棱长是________厘米．例4从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是多少平方厘米？例5如图，一个酒瓶身呈圆柱形，深30厘米，底内直径是10厘米，瓶里酒深15厘米．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立，这时酒深25厘米，问：酒瓶容积是多少？（π取3）例6如图所示，有一个5×5×5的立方体，在一个方向开有1×1×5的孔，在另一个方向上开有2×1×5的孔，在第三个方向上开有3×1×5的孔，请问剩余部分的体积是多少？表面积是多少？三、自我提升1、一个高15厘米的圆柱形容器，其底面积是100平方厘米，装有1000毫升的水，（1）.向容器中投入一个棱长为5厘米的正方体铁块，则水面高度变为多少厘米？（2）.向容器放入一个底面积为20平方厘米，高为15厘米的长方体铁块，则水面高度变为多少厘米？（3）.向容器中放入一个底面积为40平方厘米，高为14厘米的长方体铁块；则水面高度变为多少厘米？2、如图是一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及中间的一块长方形正好做成一个圆柱体．这个圆柱体的体积是多少？3、由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如右图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米．那么，这个立体图形的表面积是平方厘米．4、把11块相同的长方体砖拼成一个长方体，已知每块砖的体积是288立方厘米，大长方体的表面积是_______平方厘米5、一个的立方体挖掉一些小方块后，从前后、左右、上下三个方向观察，视图均为下图．这个立方体的表面积是________．6、图a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米．将水瓶倒置后，如图2b，瓶中液面的高度是16厘米，则图2b中，水瓶中圆锥部分的高度为厘米．四、自我提升答案1【分析】原水高=1000÷100=10（cm），因为铁块高5cm＜水高10cm，所以是完全浸没。则实际水高=（1000+5×5×5）÷100=11.25（cm）假设完全浸没，则水高=（1000+20×15）÷100=13（cm）。因为水高13cm＜铁块高15cm，所以假设不成立。即是不完全浸没，水高=1000÷（100-20）=12.5（cm）。假设完全浸没，则水高=（1000+40×15）÷100=15.6（cm）。因为水高15.6cm＞铁块高14cm，所以假设成立。又因为水高15.6cm＞容器高15cm，所以水溢出。实际水高=15cm。2【分析】根据题意，圆柱的底面半径为10厘米，圆柱的高为（10×2）厘米，然后根据圆柱的体积公式=底面积×高进行计算即可得到答案．解：3.14×102×（10×2），

=314×20，

=6280（立方厘米），

答：这个圆柱体的体积是6280立方厘米；3【分析】用三视图的方法计算正方体的表面积，准确计算出遮挡部分的面积也是做题的关键。正面面积=5×5+（2×2+1×1）×2=35侧面面积=5×5+（2×2+1×1）×2=35上面面积=5×5=25遮挡部分面积=（2×2+1×1）×8=40总面积=（35+35+25）×2+40=2304【分析】设砖的宽为a，则长=3a/2，高=3a/2÷4=3a/8.则体积288=a×3a/2×3a/8，a3=288×16÷9=512.a=8。表面积=（12×24+12×11+12×11）×2=13685【分析】以一面为例，分析这一面上可被计算的表面积，如左上角的点由于后面没有任何一面没有被挖掉所以面积为1，标1；又如第一行第二点，由于小正方体上表面被挖出一个十字小方块，所以从这一侧看相当于计算两次一个正方形的表面积，标2；以此类推，可以标出如下图所示的结果：1222122022200022202212221所以从每一面分析这一侧的表面积都为36，总共的立方体表面积为36×6=216。6【分析】两个瓶中空气部分的体积不变，所以左图中空气部分的体积就等于右图中高为26-16=10（厘米）空气柱的体积，所以瓶的容积是：π×（10÷2）2×（12+10）=550π（立方厘米）；如果把瓶看作高为26厘米的圆柱的话，体积比原来多：π×（10÷2）2×26-550π=100π（立方厘米）；这部分多的体积相当于水瓶中圆锥部分的体积的2倍，所以根据圆锥的体积计算公式可求出高．解：26-16=10（厘米），

π×（10÷2）2×（12+10）=550π（立方厘米），

π×（10÷2）2×26-550π=100π（立方厘米），

100π÷2÷1/3÷[π×（10÷2）2]=6（厘米）

答：水瓶中圆锥部分的高度为6厘米．

模型八——《圆、扇形》一、知识点梳理圆圆的面积；扇形的面积；圆的周长；扇形的弧长；常考题型二、例题精讲例1已知AB=120米，从A到B有三条半圆弧线路可走，走_______圆弧线路的距离最短,最短距离是_______米（π=3）

例2如图中的三个圆的半径都是5厘米，三个圆两两相交于圆心，求阴影部分的面积．（π=3）例3如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径。已知AB=BC=10，那么阴影部分的面积是多少？（π=3）例4如图中阴影甲的面积比阴影乙的面积多25平方厘米，AB=8厘米，三角形ABC是直角三角形，求BC的长。（π=3）例5图中等腰直角三角形ABC的面积是24平方厘米，求阴影部分面积．（π=3）

例6如图，一只羊被拴在一个长为4米，宽为3米的长方形的羊圈内。在B处有一个缺口，样可以自由出入，拴绳长9米在D处，那么羊能够到达的地方的面积约为________平方米。（π=3）三、自我提升如图，阴影部分的面积是多少？2、如图，分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以2厘米为半径画弧，那么阴影图形的周长是_______厘米（π=3）3、如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么着两个部分的面积之比是多少？（π=3）4、如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，弧AC=弧CD=弧DB，M是弧CD的中点，H是弦CD的中点。若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是_______平方厘米。5、如图，长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，做扇形ABE，交AD延长线于E，做扇形CBF，交CD于F，求阴影部分的面积。（π=3）6、如图所示，图中空白部分为长方形，求阴影部分的面积。（π=3）四、答案与解析1【分析】法一，第一个小长方形的阴影部分移至第二个小长方形右侧，将第三个小长方形的阴影部分移至第二个小长方形左侧，即构成一个完整的长方形，其面积为2×4=8法