山西省忻州市奇村高级中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

山西省忻州市奇村高级中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题正确的是

（）A．函数在区间内单调递增B．函数的最小正周期为C．函数的图像是关于点成中心对称的图形D．函数的图像是关于直线成轴对称的图形参考答案：C2.若集合M={y∈N|y＜6}，N={x|log2（x﹣1）≤2}，则M∩N=（）A．（1，5] B．（﹣∞，5] C．{1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5}参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别求出集合M，N，由此能求出M∩N的值．【解答】解：∵集合M={y∈N|y＜6}={0，1，2，3，4，5}，N={x|log2（x﹣1）≤2}={x|1＜x≤5}，∴M∩N={2，3，4，5}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．a=5，b=5，A=50° B．a=3，b=4，A=30°C．a=5，b=10，A=30° D．a=12，b=10，A=135°参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得sinB=，根据条件求得sinB的值，根据b与a的大小判断角B的大小，从而判断△ABC的解的个数．【解答】解：对于A：a=5，b=5，A=50°，由b=a，故B=A=50°，C=80°，故△ABC有唯一解，对于B：a=3，b=4，A=30°，有sinB===，又b＞a，故B＞A，故B可以是锐角，也可以是钝角，故△ABC有两个解，对于C：a=5，b=10，A=30°，有sinB===1，B为直角，故△ABC有唯一解，对于D：a=12，b=10，A=135°，有sinB===，又b＜a，故B＜A，故B为锐角，故△ABC有唯一解．故选：B．4.已知定义在实数解R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导函数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1，则不等式f（x）＜x+1的解集为（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】令g（x）=f（x）﹣x﹣1，由有f′（x）＜1，可得g（x）的导数小于0，g（x）递减，由f（1）=2，可得g（1）=0，再由单调性，即可得到不等式的解集．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x﹣1，由f′（x）＜1，则g′（x）=f′（x）﹣1＜0，g（x）在R上递减，又f（1）=2，则g（1）=f（1）﹣1﹣1=0，则不等式f（x）＜x+1，即为g（x）＜0，又g（1）=0，即有g（x）＜g（1），由g（x）为递减函数，则x＞1．故选C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查构造函数运用单调性解不等式的思想，属于中档题．5.设实数x，y满足不等式组，则的最小值是A．

B．-2

C．1

D．参考答案：A画出约束条件的可行域，由可行域知，目标函数过点时取最小值，所以最小值为。6.将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是（

）A．函数在区间上单调递增 B．图像关于直线对称C．函数在区间上单调递减 D．图像关于点对称参考答案：C由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，对于A中，由，则，则函数在区间上单调递增是正确的；对于B中，令，则，∴函数图像关于直线对称是正确的；对于C中，，则，则函数在区间上先减后增，∴不正确；对于D中，令，则，∴图像关于点对称是正确的，故选C．7.已知复数z满足（2﹣i）z=1+i（i为虚数单位），则=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（2﹣i）z=1+i（i为虚数单位），∴（2+i）（2﹣i）z=（1+i）（2+i），∴5z=1+3i，∴z=+i，则=﹣i，故选：B．8.如果，那么的值是 A．—1 B．0 C．3 D．1参考答案：9.函数的定义域为D,若对于任意,当时都有,则称函数在D上为非减函数,设函数在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:①;②;③,则等于

(

)A.

B.

C.1

D.参考答案：B略10.已知数列{an}的前n项和，则an=(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知，结合递推公式可得，an=Sn﹣Sn﹣1=n2an﹣（n﹣1）2an﹣1（n＞1），即=，利用迭代法能求出an．【解答】解：∵Sn=n2an当n＞1时，Sn﹣1=（n﹣1）2an﹣1∴an=Sn﹣Sn﹣1=n2an﹣（n﹣1）2an﹣1（n2﹣1）an=（n﹣1）2an﹣1即=，∴an=a1??…?=1××××…×==．故选B．【点评】本题主要考查由数列的递推公式an=Sn﹣Sn﹣1求把和的递推转化为项的递推，及由即=，利用迭代法求解数列的通项公式，求解中要注意抵消后剩余的项是：分子，分母各剩余两项．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为

。参考答案：25，60，1512.现有4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A，B两人恰好乘坐在同一辆车”的概率为

▲

．参考答案：

考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.13.已知的内角的对边分别为，且,则的面积等于________.参考答案：略14.已知点，当两点间距离取得最小值时，x的值为_________.

参考答案：略15.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为

.第14题图参考答案：106716.坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线上有3个不同的点到曲线的距离等于2，则.参考答案：略17.如果随机变量，且，则＝

．参考答案：0.1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.关于椭圆的切线由下列结论：若是椭圆上的一点，则过点P的椭圆的切线方程为.已知椭圆.(1)利用上述结论，求过椭圆C上的点的切线方程；(2)若M是直线上任一点，过点M作椭圆C的两条切线MA，MB（A，B为切点），设椭圆的右焦点为F，求证：.参考答案：（1）（2）见证明【分析】(1)将代入椭圆方程，求得，再利用题意，即可求解切线的方程；(2)由过，两点的椭圆的切线，的方程，得到点，两点均在直线上，得出直线的方程为，进而求得，即可得到结论.【详解】(1)由题意，将代入椭圆方程，得，所以，所以过椭圆上的点的切线方程为，即.(2)设，，，则过，两点的椭圆的切线，的方程分别为，，因为在两条切线上，，，所以，两点均在直线上，即直线的方程为，当时，，又，，，所以，若，点在轴上，，两点关于轴对称，显然.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的应用，以及类比思想的应用，其中解答根据题意，合理利用椭圆的切线方程的求法，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.（本小题16分）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．参考答案：（1）（2）①时在上单调递减，在上单调递增②时的单调递增区间

单调递减区间③时的单调递增区间

单调递减区间（3）①由（2）时不符合题意

②时在上递减，在上递增，则当

当时，,故

则解得③时在上递增，在上递减则且时则解得综上或20.（本题12分）已知函数。（1）当时，求的极值；（2）设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。参考答案：【知识点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．B12【答案解析】（1）当时，有极大值，且极大值=；当时，有极小值，且极小值=。（2）。解析：（1）当时，有极大值，且极大值=；当时，有极小值，且极小值=。

（2）其在上递减，在上递增，所以对于任意的，不等式恒成立，则有即可。即不等式对于任意的恒成立。①当时，，由得；由得，所以在上是增函数，在上是减函数，，所以符合题意。②当时，，由得；由得，所以在上是增函数，在上是减函数，，所以符合题意。③当时，，由得；当时，，由得或；由得，所以在上是增函数，易知可取到正值，这与对于任意的时矛盾。同理当时也不成立。综上，的取值范围为。【思路点拨】（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，．令f'（x）=0得：．列出表格即可得出函数的单调性极值；（II）对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g（x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．21.在直角坐标系中，直线经过点（-1，0），其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线的极坐标方程为（1）若直线与曲线有公共点，求的取值范围；（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.参考答案：（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为

-----------1分直线的参数方程为（为参数）

----------2分将代入整理得-----3分直线与曲线有公共点，

----4分的取值范围是

------5分(2)曲线的方程可化为，其参数方程为（为参数）

---6分为曲线上任意一点，---8分的取值范围是

----10分