山西省忻州市偏关县南堡子乡中学高三数学理下学期期末试题含解析

山西省忻州市偏关县南堡子乡中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题正确的是（）A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件B．函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是（3，0）或（﹣2，0）C．对于命题p：?x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6=0，则x≠3”参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，“a2＞9”是“a＞3”的必要不充分条件；B，函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点不是点，是方程的根；C，命题p：?x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0，；D，命题的否命题既要否定条件，又要否定结论；【解答】解：对于A，“a2＞9”是“a＞3”的必要不充分条件，故错；对于B，函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是3，﹣2，故错；对于C，命题p：?x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：?x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0，正确；对于D，命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6≠0，则x≠3，故错；故选：C2.已知集合，则A．{0,4}

B．(0,4]

C．[0,4]

D．(0,4)参考答案：C3.对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件B．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略4.某地流行一种游戏，如图一是一长方形纸盒，高为，宽为，纸盒底部是一个“心形”图案，如图二所示，“心形”图案是由上边界（虚线上方部分）与下边界（虚线下方部分）围成，曲线是函数的图象，曲线是函数的图象，游戏者只需向纸盒内随机投掷一颗瓜子，若瓜子落在“心形”图案内部即可获奖，则一次游戏获奖的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C5.已知a∈R，则“a＞3”是“a2＞2a+3”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a2＞2a+3，解得a＞3或a＜﹣1．即可判断出结论．【解答】解：a2＞2a+3，即a2﹣2a﹣3＞0，解得a＞3或a＜﹣1．∴“a＞3”是“a2＞2a+3”成立的充分不必要条件．故选：A．6.已知集合，A. B. C. D.参考答案：【知识点】交集及其运算．A1C

解析：因为,,所以,故选C.【思路点拨】利用交集的性质求解．7.已知函数f（x）=ex+x，g（x）=lnx+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则(

) A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c参考答案：B考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：分别由f（x）=0，g（x）=0，h（x）=0，利用图象得到零点a，b，c的取值范围，然后判断大小即可．解答： 解：由f（x）=0得ex=﹣x，由g（x）=0得lnx=﹣x．由h（x）=0得x=1，即c=1．在坐标系中，分别作出函数y=ex，y=﹣x，y=lnx的图象，由图象可知a＜0，0＜b＜1，所以a＜b＜c．故选：B．点评：本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键．8.按如下程序框图，若输出结果为S=170，则判断框内应补充的条件为________。 A．

B．

C．

D．参考答案：C9.设全集，集合，则集合=

（▲）A．

B． C．

D．参考答案：B略10.已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）A． B．π C．2π D．参考答案：C【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】结合三角函数R上的值域[﹣2，2]，当定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，可知[a，b]小于一个周期，从而可得．【解答】解：函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2函数的周期T=2π值域[﹣2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a，b]小于一个周期b﹣a＜2π故选C【点评】本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是熟悉三角函数y=2sinx的值域[﹣2，2]，而在区间[a，b]上的值域[﹣2，1]，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.求方程x3﹣2x﹣5=0在区间（2，3）内的实根，取区间中点x0=2.5，那么下一个有根区间是．参考答案：（2，2.5）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由f（2）＜0，f（2.5）＞0知，f（x）零点所在的区间为．解答： 解：设f（x）=x3﹣2x﹣5，f（2）=﹣1＜0，f（3）=16＞0，f（2.5）=﹣10=＞0，f（x）零点所在的区间为，方程x3﹣2x﹣5=0有根的区间是（2，2.5）．点评：本题考查用二分法求方程的根所在的区间的方法，方程的实根就是对应函数f（x）的零点，函数在区间上存在零点的条件是函数在区间的端点处的函数值异号．12.在下列四个图所表示的正方体中，能够得到AB⊥CD的是．参考答案：①②【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用正方体的性质以及三垂线定理对四个正方体中的AB，CD分别分析解答．【解答】解：对于①，通过平移AB到右边的平面，可知AB⊥CD，所以①中AB⊥CD；对于②，通过作右边平面的另一条对角线，可得CD垂直AB所在的平面，由三垂线定理得到②中AB⊥CD；对于③，可知AB与CD所成的角60°；对于④，通过平移CD到下底面，可知AB与CD不垂直．所以能够得到AB⊥CD的是①和②．故答案为：①②【点评】本题考查了空间几何体中，线线关系的判断；考查学生的空间想象能力．13.将参数方程（为参数）化为普通方程是

.参考答案：略14.若sinα=﹣，且α为第三象限角，则tanα的值等于

．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由调价利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tanα的值．【解答】解：∵sinα=﹣，且α为第三象限角，∴cosα=﹣=﹣，则tanα==，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．15.已知正△ABC的边长为4，若在△ABC内任取一点，则该点到三角形顶点A、B、C距离都不小于2的概率为．参考答案：1﹣π【考点】几何概型．【分析】先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形==4满足点到三角形顶点A、B、C距离都小于2的区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为2的半圆，则S阴影=π×22=2π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是P===1﹣π．故答案为：1﹣π16.B．（不等式选讲选做题）设函数，若函数的定义域为，则实数的取值范围是

.参考答案：17.已知数列是等差数列，且，则的值为

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M、N（点M在点N的左侧），且|MN|=3．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆+=1相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）设圆的半径为r吗，根据|MN|=3求出r，即可确定出圆C的方程；（Ⅱ）把y=0代入圆方程求出x的值，确定出M与N坐标，当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性得证；当AB与x轴不垂直时，设直线AB解析式为y﹣k（x﹣1），与椭圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，设直线AB交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理表示出x1+x2，x1x2，进而表示出直线AN与直线BN斜率之和为0，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（r，2），∵|MN|=3，∴r2=（）2+22=，∴圆C的方程为（x﹣）2+（y﹣2）2=；（Ⅱ）把y=0代入方程（x﹣）2+（y﹣2）2=，解得：x=1，或x=4，即M（1，0），N（4，0），当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM；当AB与x轴不垂直时，设直线AB解析式为y=k（x﹣1），联立方程，消去y得：（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣8=0，设直线AB交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，∵y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），∴kAN+kBN=+=+=，∵（x1﹣1）（x2﹣4）+（x2﹣1）（x1﹣4）=2x1x2﹣5（x1+x2）+8=﹣+8=0，∴kAN+kBN=0，∠ANM=∠BNM，综上所述，∠ANM=∠BNM．【点评】此题考查了直线与圆方程的应用，椭圆的简单性质，圆的标准方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点.直线交椭圆于不同的两点.(1)求椭圆的方程；(2)求的取值范围；(3)若直线不过点，求证：直线与轴围成一个等腰三角形.参考答案：(1)

（2）

（3）见解析(1)由已知椭圆焦点在轴上可设椭圆的方程为，（）因为，所以，

①又因为过点，所以，

②联立①②解得，故椭圆方程为.

………………4分(2)将代入并整理得，因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得.

………………8分(3)设直线的斜率分别为和，只要证明即可.设，，则.

………………10分所以所以，所以直线与轴围成一个等腰三角形．

………………14分20.已知向量，且求（1）及；（2）若的最小值是，求的值。参考答案：解：（1）因为，所以（2）因为，所以（1）当时，解得

其中，，舍去故（2）当时，

（3）当时，

解得，舍去综上所述：。21.已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线上的圆E与x轴相切，且E，F关于点对称.（1）求E和的标准方程；（2）过点M的