山西省忻州市东楼联合学校2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析

山西省忻州市东楼联合学校2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．4参考答案：D【考点】定积分．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是，而=（2x2﹣x4）＝8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．2.若z是复数，z=．则z?=（）A． B． C．1 D．参考答案： D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，然后代入z?计算得答案．【解答】解：由z==，得，则z?=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件C．若命题P：?n∈N，2n＞1000，则﹣P：?n∈N，2n≤1000D．命题“?x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题参考答案：D【考点】特称命题；全称命题．【专题】阅读型．【分析】选项A是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；选项B看由a=2能否得到函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数，反之又是否成立；选项C、D是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式．【解答】解：因为命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，所以A正确；由a=2能得到函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数，反之，函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数，a不一定大于2，所以“a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，所以选项B正确；命题P：?n∈N，2n＞1000，的否定为￢P：?n∈N，2n≤1000，所以选项C正确；因为当x＜0时恒有2x＞3x，所以命题“?x∈（﹣∞，0），2x＜3x”为假命题，所以D不正确．故选D．【点评】本题考查了特称命题的否定，特称命题的否定为全称命题，注意命题格式的书写，属基础题．4.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（

）

ks5u

A.；

B.；

C.；

D.参考答案：A略5.若＜＜0，则下列不等式①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2中，正确的不等式有()A．0个

B．1个C．2个

D．3个参考答案：C略6.已知命题p：lnx＞0，命题q：ex＞1则命题p是命题q的（）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要参考答案：A略7.将单位正方体放置在水平桌面上（一面与桌面完全接触），沿其一条棱翻动一次后，使得正方体的另一面与桌面完全接触，称一次翻转．如图，正方体的顶点，经任意翻转二次后，点与其终结位置的直线距离不可能为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.i是虚数单位，=

（

）

A．1+i

B．-1-iC．1-i

D．-1+i参考答案：D略9.已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A.2 B. C. D.参考答案：D【分析】以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值．【详解】以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得，设，由，可得，即，则，当时，的最小值为．故选：D．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．10.能够把椭圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a=（sinx+cosx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式的常数项是

．参考答案：﹣160考点：二项式系数的性质；定积分．专题：导数的概念及应用；二项式定理．分析：求定积分求得a的值，然后写出二项展开式的通项，由x得指数为0求得r值，代入通项求得常数项．解答： 解：a=（sinx+cosx）dx==2．∴（a﹣）6=．其通项==．由3﹣r=0，得r=3．∴二项式（a﹣）6的展开式的常数项是．故答案为：﹣160．点评：本题考查了定积分，考查了二项式定理，关键是熟练掌握二项展开式的通项，是基础题．12.抛物线+12y=0的准线方程是参考答案：y=3略13.已知满足约束条件则的最小值是__________．参考答案：

试题分析：画出可行域及直线，如图所示.平移直线，当经过点时，其纵截距最大，所以最小，最小值为.考点：简单线性规划.14.我们可以利用数列{an}的递推公式an=（n∈N+），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a64+a65=．参考答案：66【考点】数列递推式．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，写出数列前几项，即可得到所求值．【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66．故答案为：66．【点评】本题是对数列递推公式应用的考查，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，避免不必要的错误．15.两个袋中各装有编号为1，2，3，4，5的5个小球，分别从每个袋中摸出一个小球，所得两球编号数之和小于5的概率为

▲

．参考答案：16.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则

．参考答案：由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点，所以，所以，所以，，所以。17.在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题12分）已知数列满足，，等比数列的首项为2，公比为。（Ⅰ）若，问等于数列中的第几项？（Ⅱ）数列和的前项和分别记为和，的最大值为，当时，试比较与的大小参考答案：（I）．

……………2分由，得，即是公差的等差数列．……………3分由，得．．

………………5分令，得．等于数列中的第项．

………………6分（Ⅱ），．

…………8分又，

．

……………11分．

……………12分19.如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC=BC，M，N分别是棱CC1，AB的中点．（1）求证：CN⊥平面ABB1A1；（2）求证：CN∥平面AMB1．参考答案：.证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CN?平面ABC，∴AA1⊥CN，∵AC=BC，N是棱AB的中点，∴CN⊥AB，∵AA1∩AB=A，AA1?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，∴CN⊥平面ABB1A1…………7分（2）取AB1的中点P，连结NP、MP．∵P、N分别是棱AB1、AB的中点，∴NP∥BB1且NP=BB1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱CC1的中点，且CC1∥BB1，CC1=BB1，∴CM∥BB1，且CM=BB1，∴CM∥NP，CM=NP．∴四边形CNPM是平行四边形，∴CN∥MP．∵CN平面AMB1，MP?平面AMB1，∴CN∥平面AMB1．…………14分20.（本小题满分12分）已知函数，（1）时，求的单调区间；（2）若时，函数的图象总在函数的图像的上方，求实数a的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．参考答案：解：（1）时则

令有：；令故的单增区间为；单减区间为.（2）构造，即则.①

当时，成立，则时，，即在上单增，令：，故

②时,令；令

即在上单减；在上单增故，舍去综上所述，实数a的取值范围略21.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（1）求角B的大小；（2）若A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABCD面积的最大值．参考答案：【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC＞0，可求tanB=1，根据范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由余弦定理可得BC2=5﹣4cosD，由△ABC为等腰直角三角形，可求，S△BDC=sinD，由三角函数恒等变换的应用可求，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，a=b（sinC+cosC）．∴有sinA=sinB（sinC+cosC），∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），∴cosBsinC=sinBsinC，sinC＞0，则cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴则．（2）在△BCD中，BD=2，DC=1，∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，又∵，则△ABC为等腰直角三角形，，又∵，∴，当时，四边形ABCD的面积最大值，最大值为．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用co