山西省太原市西山煤电集团公司高级中学2023年高三数学文测试题含解析

山西省太原市西山煤电集团公司高级中学2023年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设（i是虚数单位），则=（

）

A．1+i

B．-1+i

C．1-i

D．-1-i参考答案：C略2.设实数b，c，d成等差数列，且它们的和为9，如果实数a，b，c构成公比不等于－1的等比数列，则a+b+c的取值范围为（

）A.(,+∞)

B.(－∞,)

C.[,3)∪(3,+∞)

D.(－∞,－3)∪(－3,)参考答案：C设这4个数为，且，于是，整理得，由题意上述方程有实数解且．如，则，而当时，或6，当时，，，，此时，其公比，不满足条件，所以，

又，综上得且．3.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是(

)A．f（x）=﹣x3 B．f（x）=+x3 C．f（x）=﹣x3 D．f（x）=﹣﹣x3参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题是选择题，可采用排除法，根据函数的定义域可排除选项C再根据特殊值排除B，D，即可得到所求【解答】解：由图象可知，函数的定义域为x≠a，a＞0，故排除C，当x→+∞时，y→0，故排除B，当x→﹣∞时，y→+∞，故排除B，当x=1时，对于选项A．f（1）=0，对于选项D，f（1）=﹣2，故排除D．故选：A．【点评】本题主要考查了识图能力，数形结合的思想，属于基础题4.设计一个计算的算法，图1给出了程序的一部分.在下列选项中，在横线①上不能填入的数是

A．

B．

C．

D．

参考答案：A略5.已知偶函数在R上的任一取值都有导数，且则曲线在处的切线的斜率为

()

A.2

B.-2

C.1

D.-1参考答案：D略6.（3分）用数学归纳法证明等式1+3+5+…+（2n﹣1）=n2（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．1+3+5+…+（2k+1）=k2B．1+3+5+…+（2k+1）=（k+1）2C．1+3+5+…+（2k+1）=（k+2）2D．1+3+5+…+（2k+1）=（k+3）2参考答案：考点：数学归纳法．专题：阅读型．分析：首先由题目假设n=k时等式成立，代入得到等式1+3+5+…+（2k﹣1）=k2．当n=k+1时等式左边=1+3+5++（2k﹣1）+（2k+1）由已知化简即可得到结果．解答：因为假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k﹣1）=k2当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k﹣1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2．故选B．点评：此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目．需要同学们对概念理解记忆．7.设i是虚数单位，复数(

)A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===3﹣2i，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．8.（5分）（2015?杨浦区二模）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】：正弦函数的图象．【专题】：压轴题；数形结合．【分析】：根据题意和图形取AP的中点为D，设∠DOA=θ，在直角三角形求出d的表达式，根据弧长公式求出l的表达式，再用l表示d，根据解析式选出答案．解：如图：取AP的中点为D，设∠DOA=θ，则d=2|OA|sinθ=2sinθ，l=2θ|OA|=2θ，∴d=2sin，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式．故选：C．【点评】：本题考查了正弦函数的图象，需要根据题意和弧长公式，表示出弦长d和弧长l的解析式，考查了分析问题和解决问题以及读图能力．9.函数f(x)=log5(x2+1),

x∈[2,+∞的反函数是

（

）

A．g(x)=(x≥0)

B．g(x)=(x≥1)

C．g(x)=(x≥0)

D．g(x)=(x≥1)

参考答案：答案：D10.已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，若g（2）=a，则f（2）=（）A．2 B． C． D．a2参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，由条件f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，构建方程组，然后求解即可．【解答】解：∵f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，g（2）=a，∴f（2）+g（2）=a2﹣a﹣2+2．①，∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴当x=﹣2时，f（﹣2）+g（﹣2）=a﹣2﹣a2+2

②即﹣f（2）+g（2）=a﹣2﹣a2+2，③①+③得：2g（2）=4，即g（2）=2，又g（2）=a，∴a=2．代入①得：f（2）+2=22﹣2﹣2+2，∴f（2）=22﹣2﹣2=4﹣=．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合，则

．参考答案：{－1,2,3}12.设且

则对任意，

.参考答案：解析：，

所以，13.已知，且，则xy的最小值为______________.参考答案：64【分析】根据基本不等式解得取值范围，再结合等号确定最值取法.【详解】，当且仅当时取等号，所以最小值为【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意等号取得的条件，否则会出现错误.14.圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作两直线分别交圆于A，B两点，且∠APB＝60°，则｜PA｜2＋｜PB｜2的取值范围为__

__．参考答案：（5，6]过点P做直径PQ，如图，根据题意可得：｜PQ｜＝2.因此，｜PA｜2＋｜PB｜2的取值范围为（5，6]．15.已知函数,且)有两个零点，则的取值范围是

.参考答案：略16.（文）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________．参考答案：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：因为,所以，当过时取等号，所以，即直线过椭圆的右焦点E时的周长最大，由题意可知，右焦点为，所以当时，的周长最大，当时，，所以的面积是.17.已知函数则

▲

；若，则

▲

．参考答案：;或

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线OM交于点N，并且点N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值.参考答案：（1）因为，所以，……①

…1分将点坐标代入椭圆标准方程，得到……②

………………2分联立①②，解得……………………3分所以椭圆的标准方程为.………………4分（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，并设，，线段中点在直线上，所以……………5分因为，两式相减得到因为所以………………6分由，消去得到关于的一元二次方程并化简得，解得………………7分……………8分原点到直线的距离…………………9分…………10分……………………11分当且仅当时取等号…………12分综上，当时，面积最大值为，此时直线方程为.（没有总结语，扣1分）19.（本题满分12分）某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望．参考答案：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72.

……………（3分）众数的估计值为75分

……………（5分）所以，估计这次考试的平均分是72分．

……………（6分）（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（II）从95，96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是，有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是，两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率

……………（8分）随机变量的可能取值为0、1、2、3，则有．∴∴变量的分布列为：0123P

…………（10分）

…………（12分）

解法二.随机变量满足独立重复试验,所以为二项分布,即………（10分）

…………（12分）20.已知函数f（x）=lnx﹣+（a﹣1）x（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）试问在函数f（x）的图象上是否存在A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），使得f（x）在x0=处的切线l平行于AB，若存在，求出A，B点的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导f′（x）=﹣，从而确定导数的正负，从而确定函数的单调区间；（2）求导f′（x0）=﹣a+a﹣1，求直线AB的斜率kAB=﹣+a﹣1，从而可得=，再设=t，（t＞1），从而可得2=lnt，令g（t）=lnt﹣2=lnt+﹣2，从而解得．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣+（a﹣1）x，∴f′（x）=﹣，又∵a＞0，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；故f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；（2）∵f′（x0）=f′（）=﹣a+a﹣1，kAB==﹣+a﹣1，由题意可得，﹣a+a﹣1=﹣+a﹣1；故=，故=，即设=t，（t＞1），则上式可化为=lnt，即2=lnt，令g（t）=lnt﹣2=lnt+﹣2，g′（t）=﹣==≥0，故g（t）=lnt﹣2在（0，+∞）上是增函数，而g（1）=0，故与x1＜x2相矛盾，故不存在．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用．21.直三棱柱，棱上有一个动点满足.（1）求的值，使得三棱锥的体积是三棱柱

体积的；

（2）在满足（1）的情况下，若，，确定上一点，使得，求出此时的值.参考答案：解：（1）根据条件，有，，即点到底面的距离是点到底面距离的，所以；（2）根据条件，易得，则当时，即有

，即时，有，所以

略22.在数列中，，．（1）设，求数列的通项公式