山西省太原市北留中学2022年高三数学文月考试题含解析

山西省太原市北留中学2022年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一已知数列{}中，首项a1＝1，，数列｛bn｝的前n项和

（1）求数列｛bn｝的通项公式；

（2）求数列｛|bn|｝的前n项和．参考答案：（l）；（2）

【知识点】递推公式；数列的和D1D4解析：（l）由已知，即，累加得：又。对于数列的前n项和：所以当时，（2）设数列的前n项和，则当时，，，当时，，故【思路点拨】（l）两边取对数,变形后可利用累加法;（2）对n分两种情况可得结果.2.函数的零点所在的大致区间是

A．(0，1)

B．(1，2)

C．(2，e)

D．(3，4)参考答案：B3.若集合=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆半径为1，则该几何体体积为(

)

A．

B．C．

D．参考答案：A5.函数y＝loga|x＋b|(a>0，a≠1，ab＝1)的图象只可能是

参考答案：B6.已知函数f（x）=x2sinx+xcosx，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，C，再根据函数值得变化趋势得到答案．【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，∴f′（x）=x2cosx+cosx，∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，C，当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，故选：C．【点评】本题考查了导数的运算法则和函数图象的识别，属于中档题．7.当a>0时，函数的图象大致是(

)参考答案：B略8.设函数，则 （

）A．为的极大值点 B．为的极小值点C．为的极大值点 D．为的极小值点参考答案：D略9.若实数满足，则的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：D10.椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是．参考答案：?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是：?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．故答案为：?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．12.已知，，当时，，则当时，

.参考答案：由，可知函数关于对称，当时，，所以.13.下列命题中：（1）a=4，A=30°，若△ABC唯一确定，则0＜b≤4．（2）若点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则m的取值范围是（﹣5，+∞）；（3）若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（1，+∞]∪（﹣∞，﹣4]；（4）将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x的图象．（5）已知双曲线方程为x2﹣=1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点．正确的是（填序号）参考答案：（2），（5）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由正弦定理求得sinB，举例说明（1）错误；把点的坐标代入圆的方程说明（2）正确；由双曲线的方程可得关于k的不等式，求得k值说明（3）错误；由函数图形的平移可得（4）错误；利用点差法求出直线l的方程说明（5）正确．【解答】解：对于（1），由，得sinB=．当b=8时，sinB=1，B=90°，C=60°，△ABC唯一确定，故（1）错误；对于（2），点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则12+12+m﹣1+4＞0，即m＞﹣5，故（2）正确；对于（3），若曲线+=1表示双曲线，则（4+k）（1﹣k）＜0，解得k＞1或k＜﹣4，即k的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣4），故（3）错误；对于（4），将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数图象的解析式为y=cos[2（x+）]=cos（2x+），故（4）错误；对于（5），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式作差得：，∴，∴kAB=2，此时直线方程为y﹣1=2（x﹣2），即y=2x﹣3，联立，得2x2﹣12x+11=0，△=144﹣88=56＞0，故（5）正确．∴正确命题的序号是（2），（5）．故答案为：（2），（5）．14.如果函数的导函数的图像如下，给出下列判断：（1）函数在区间（-4，-1）内单调递增；

y（2）函数在区间（-1，3）内单调递减；（3）函数在区间（4，5）内单调递增；

-4

-1

2

3

4

5

x（4）当时，函数有极小值。其中正确的判断是

（把正确判断的序号都写上）.

参考答案：15.在直角坐标系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），则满足且在圆上的点P的个数为

▲

．参考答案：2略16.若如图所示的算法流程图中输出y的值为0，则输入x的值可能是________(写出所有可能的值)．参考答案：0，－3,117.已知函数，设，若，则的取值范围是____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AB⊥AD，PA=PD，D为AD的中点，AB⊥PO，E为线段DC上一点，向量（I）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若PO=，AD=AB=2，点C到平面PBE的距离为，求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值，参考答案：19.（12分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．参考答案：【考点】：圆与圆锥曲线的综合．【专题】：综合题．【分析】：（I）由，得：x2﹣4x﹣4b=0，由直线l与抛物线C相切，知△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，由此能求出实数b的值．（II）由b=﹣1，得x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，由此能求出圆A的方程．解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①，因为直线l与抛物线C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，解得b=﹣1；（II）由（I）可知b=﹣1，把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得y=1，故点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，即r=|1﹣（﹣1）|=2，所以圆A的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．【点评】：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．20.．已知函数f（x）=xex﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2ex＞（x+2）lnx+2sinx．参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；3R：函数恒成立问题；R6：不等式的证明．【分析】（1）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论，当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，舍去．当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时，求出极值，进而得出答案．（2）①当a≤0时，不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，利用导数研究其单调性极值即可得出．②由①可知x2ex﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：?x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sinx．对x分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】解：（1）f（x）=xex﹣alnx﹣ax，x＞0，则．当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时，则．注意到，因此．（2）①当a＜0时，f（x）单调递增，f（x）的值域为R，不符合题意；当a=0时，则，也不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即转化为lnt≥t﹣1，设h（t）=lnt﹣t+1，则，因此h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）max=h（1）=0，所以lnt≤t﹣1．因此，lnt=t﹣1?t=1，从而有．故满足条件的实数为a=1．②证明：由①可知x2ex﹣xlnx≥x2+x，因而只需证明：?x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x2﹣x+2＞2sinx．当x＞1时，恒有2sinx≤2＜x2﹣x+2，且等号不能同时成立；当0＜x≤1时，设g（x）=x2﹣x+2﹣2sinx，则g'（x）=2x﹣1﹣2cosx，当x∈（0，1]时，g'（x）是单调递增函数，且，因而x∈（0，1]时恒有g'（x）＜0；从而x∈（0，1]时，g（x）单调递减，从而g（x）≥g（1）=2﹣2sin1＞0，即x2﹣x+2＞2sinx．故x2ex＞（x+2）lnx+2sinx．21.（本题满分15分）对于任意的n∈N*，数列{an}满足.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求证：对于n≥2，参考答案：（I）解：由．①当时得．②……………2分①－②得．……………4分∴．………………5分又．…………6分综上得．……………………7分（II）证明：当时，．………10分………11分．…………13分∴当时，．………………15分22.（本题12分）已知函数。（1）当时，求的极值；（2）设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。参考答案：【知识点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．B12【答案解析】（1）当时，有极大值，且极大值=；当时，有极小值，且极小值=。（2）。解析：（1）当时，有极大值，且极大值=；当时，有极小值，且极小值=。

（2）其在上递减，在上递增，所以对于任意的，不等式恒成立，则有即可。即不等式对于任意的恒成立。①当时，，由得；由得，所以在