材料力学静不定ppt

一、静定静不定概念

1、静定问题——仅用静力平衡方程就能求出全部未知力，这类问题称为静定问题.

实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。2、静不定问题——仅用静力平衡方程不能求出全部未知力，又称超静定问题。实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。第六章简单超静定问题§6.1～§6.2概述及拉压静不定问题材料力学1中南大学土木工程学院3、静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差，也是需要补充的方程数目。未知力：4个平衡方程：2个静不定次数=4－2=2需要补充2个方程此结构可称为2次静不定结构材料力学2中南大学土木工程学院5、多余约束力：多余约束提供的约束力。

静不定次数=多余约束力数目4、多余约束：结构保持静定所需约束之外的约束，若没有这些约束结构也能保持一定的几何形状。(静定)材料力学3中南大学土木工程学院二、拉压静不定问题的解法

1、判断静不定次数；2、列静力平衡方程；3、列几何方程：反映各杆变形之间的几何关系(变形协调方

程)，具体问题具体分析，一般通过“变形几何图”列方程。

特别注意：力与变形相对应！！

（即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对应）

4、列物理方程：变形与力的关系；5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得补充方程。

材料力学4中南大学土木工程学院2Dl2=Dl1+Dl32(Dl2+Dl1)=Dl3+Dl12(Dl2+Dl3)=Dl1+Dl3几何方程图示静不定结构，可列如右变形图。F刚体aa123（a）∆l1∆l2∆l3（b）∆l1∆l2∆l3（c）∆l1∆l2∆l3材料力学5中南大学土木工程学院还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。对应受力图FFN1FN2FN3（b）FFN1FN2FN3（c）FFN1FN2FN3（a）（a）∆l1∆l2∆l3（b）∆l1∆l2∆l3（c）∆l1∆l2∆l3材料力学6中南大学土木工程学院Dl3Dl2FABCD300300①②③l图示支架承受力F作用，①杆的抗拉刚度为EA，②杆的抗拉刚度为1.5EA，③杆的抗拉刚度为2EA。求各杆的轴力。解：平衡方程为AFFN1FN2FN3变形协调方程ADl1300300300300300化简得材料力学7中南大学土木工程学院物理关系为代入变形协调方程得补充方程联立平衡方程求得求拉压静不定结构注意事项内力假设与变形假设应一致。内力假设受拉，变形只能假设伸长。内力假设受压，变形只能假设缩短。材料力学8中南大学土木工程学院OAB为刚性梁，写几何方程。llF450①②OABlllFa①②OABlbCOAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。Dl1Dl2Dl1材料力学9中南大学土木工程学院aaF450①②OABOAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。Dl1Dl2解：变形协调关系即由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联立求出两杆轴力，再求应力后得结果。小技巧材料力学10中南大学土木工程学院内力按刚度比分配。思考：静定结构是否也是这样？刚度较大内力较大静不定结构的特点（1）FABCDFABC刚度增加内力不变材料力学11中南大学土木工程学院静不定结构的特点（2）

——装配应力ABCABCD静定结构——无装配应力静不定结构？——产生装配应力材料力学12中南大学土木工程学院解：因制造误差，装配时各杆必须变形，因此产生装配内力。一次静不定问题。几何方程：Dl1＋Dl2

/cosq=d平衡方程：FN2=FN3FN1－2FN2cosq=0

已知三根杆EA相同，1杆有制造误差d，求装配后各杆的应力。dq123lABCDqDl1Dl2FN1AFN3FN2qq物理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得物理方程：注意1杆变形计算时用l材料力学13中南大学土木工程学院装配应力是不容忽视的，如：d/l=0.001，E=200GPa，q=30°

s1=113MPa，s2=s3=－65.2MPa

正确注意：1杆伸长，只能是拉力，2、3杆缩短,应为压力。FN1AFN3FN2qqFN1AFN3FN2qq不正确材料力学14中南大学土木工程学院图示悬吊结构AB梁刚性，各杆EA相同，杆3短，求各杆装配应力。l刚体123aadAB解：1、平衡方程FN1－FN2+FN3=0FN1=FN32、几何方程Dl1Dl2Dl3即3、物理方程刚体aABFN3aFN1FN23杆用理论长度计算变形材料力学15中南大学土木工程学院4、补充方程补充方程与平衡方程联立解得:变形协调关系平衡方程两杆均为拉力，计算①杆伸长必须用理论长度，不用实际长度。AB为刚性梁，写出所需方程。a2a450①②AdBCDl1Dl2材料力学16中南大学土木工程学院静不定结构的特点（3）

——温度应力ABC升温ToC结构不因温度变化产生内力ABCD升温ToC结构会因温度变化产生内力当温度变化为

Dt=t2-t1时，杆件因温度变化而产生的变形为：

式中：a——材料的线膨胀系数。

材料力学17中南大学土木工程学院解：受力图如图示（设二杆均受压）图示结构，EA及线膨胀系数a相同的两杆①和②与刚体相连，当杆①温度升高Dt度时，两杆的内力和应力分别为多少？

①②l2lllAAFN1FN2FAxFAy列平衡方程SMA=0①杆在温度影响下伸长，在轴力作用下缩短，②杆在轴力作用下缩短。刚体绕A转动，变形几何关系图如图示。qqDl1Dl2由图可列出变形几何关系方程

2Dl1=Dl2得结合平衡方程，求得材料力学18中南大学土木工程学院刚性梁AB悬挂于三根平行杆上。l=2m，a=1.5m，b=1m，c=0.25m，d=0.2m。1杆由黄铜制成，E1=100GPa，A1=2cm2，a1=16.5×10-6/0C。2和3杆由碳钢制成，E2=E3=200GPa，A2=1cm2，A3=3cm2，a2=a3=12.5×10-6/0C，F=40kN。设温度升高200C，求各杆的应力。l刚体123abdABcFFN2abdABcFFN1FN3解：平衡方程为FN1+FN2+FN3－F=0FN1a+Fc－FN3b=0变形协调方程为Dl1Dl2Dl3材料力学19中南大学土木工程学院物理方程为物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程求得：FN1=7.92kN，FN2=10.2kN，FN3=21.9kN由此求得应力为s1=39.6MPa，s2=102MPa，s3=73MPaFN2abdABcFFN1FN3Dl1Dl2Dl3材料力学20中南大学土木工程学院解:受力分析,建立平衡方程未知力偶矩－2个，平衡方程－1个，一次超静定变形分析,列变形协调方程联立求解方程(a)与(b)建立补充方程代入上式试求图示轴两端的约束力偶矩。§6.3扭转超静定问题材料力学21中南大学土木工程学院AB设有A、B两个凸缘的圆轴，在力偶M的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除M。设轴和圆筒的抗扭刚度分别是G1Ip1和G2Ip2，试求轴内和筒内的扭矩。MM解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加力偶M解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩T1和T2。设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作用，平衡方程为T1T2T1-T2=0材料力学22中南大学土木工程学院焊接前轴在M作用下的扭转角为MMjj2j1变形协调条件T1－T2=0材料力学23中南大学土木工程学院一、相当系统的建立

1、相当系统的特点：

静定结构；含有多余约束力；主动力与原结构相同。

2、建立相当系统的步骤：

判断静不定次数；解除多余约束，代之以多余约束力；其余照原问题画。

§6.4弯曲简单超静定问题材料力学24中南大学土木工程学院解：建立相当系统=处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。确定静不定次数，用多余约束力代替多余约束所得到的静定结构——原结构的相当系统。B画出图示静不定结构的弯矩图。qlAEIMAqlAEIB或FBqlAEIB几何方程——变形协调方程物理方程——变形与力的关系材料力学25中南大学土木工程学院补充方程求解其它问题（应力、变形等）FBqlAEIB+=FBlAEIBqlAEIBM○BqlAEI弯矩图材料力学26中南大学土木工程学院ABClldllABCd超静定梁的装配应力图示三支座等截面梁，由于制造不精确，轴承有高低。已知梁的抗弯刚度EI及d和l，求两种情况下的最大弯矩。BBdAClldFBllACFB解：各梁的相当系统如图材料力学27中南大学土木工程学院悬臂梁AB，用短梁DG加固，试分析加固效果。P209，6-17解：1、静不定分析2、加固效果分析最大弯矩减少62.5%与相比，减少39.1%Fl加固前加固后材料力学28中南大学土木工程学院悬臂梁同时受拉杆约束，试求杆BC的轴力。解：梁弯曲时的轴向变形一般忽略不计如考虑梁的轴向变形，如何求解?解除约束代约束力并考虑变形几何关系。BB′DlCBDlABwB材料力学29中南大学土木工程学院梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。FB

FBwB1wB2解：解除B处约束代之以约束力，使超静定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：物理关系物理关系代入变形协调方程得补充方程：材料力学30中南大学土木工程学院由此可以确定A端和C端的约束力。FAFCMCMAFS（kN）⊕71.258.7548.754.4375mM（kNm）12511517.51.91材料力学31中南大学土木工程学院长为l，刚度为EI的梁两端固定，承受均布荷载作用，画出梁的弯矩图并求跨中的挠度。P208，6-15lqABC解：此结构为对称结构承受对称外力作用，所以在对称轴处对称内力(弯矩)不等于零，反对称内力(剪力)等于零。对称轴处对称位移(挠度)不等于零，反对称位移(转角)等于零。于是相当系统如图所示。l/2qACMCwC补充方程为跨中挠度为⊕○○M图求得材料力学32中南大学土木工程学院解：相当系统如图所示，其变形几何关系为M图P209，6-19高度为h的等截面梁两端固定,支座B下沉D，求smax=?求得材料力学33中南大学土木工程学院lABqFAMA解：解除A端约束，并代之以约束力得到相当系统。变形协调方程为wA=0，qA=q。即联立解得（）（）由