山西省大同市浑源县西坊城中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析

山西省大同市浑源县西坊城中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，则其体积为A．4 B．8 C．12 D．24参考答案：A由三视图可知：该几何体为四棱锥,由体积公式易得故选A．

2.函数在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a=(

)A．2

B.3

C.4

D.8参考答案：A3.设等差数列的前项和为，若，则（

）A．9

B．15

C.18

D．36参考答案：C4.已知函数，则下列命题正确的是（

）A．是最小正周期为1的奇函数

B．是最小正周期为1的偶函数C．是最小正周期为2的奇函数

D．是最小正周期为2的偶函数参考答案：D略5.在的二项展开式中，的系数为

A．

B．

C．

D．参考答案：C：本题考查了二项式展开式的通项公式以及同学们的计算能力，难度一般。由二项式定理知令得，所以r的系数为，故选C。6.如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4，MN=2PQ=2，向该矩形内随机投一质点，则质点落在四边形MNQP内的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】几何概型．【分析】分别求出四边形ABCD和四边形MNQP的面积，从而求出质点落在四边形MNQP内的概率即可．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=2AD=4，MN=2PQ=2，∴SABCD=8，SMNQP=3，故满足条件的概率p=，故选：B．7.已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间[0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5 B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥5参考答案：A【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】由题意可得必存在唯一的正实数a，满足f（x）+=a，f（a）=4①，可得f（a）+=a②，由①②得a=，解得a=3．由题意，||=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，数形结合可得a的范围．【解答】解：∵f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，对任意的x∈（0，+∞），都有，∴必存在唯一的正实数a，满足f（x）+=a，f（a）=4

①，∴f（a）+=a②，由①②得：4+=a，即=a﹣4，∴a=，解得a=3．故f（x）+=a=3，∴f（x）=3﹣，由方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，即有||=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，由g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a，可得g′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），当1＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递增．g（x）在x=1处取得最大值a，g（0）=a﹣4，g（3）=a﹣4，分别作出y=||，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象，可得两图象只有一个交点（1，0），将y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象向上平移，至经过点（3，1），有两个交点，由g（3）=1，即a﹣4=1，解得a=5，当0＜a≤5时，两图象有两个交点，即方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解．故选：A．【点评】本题考查对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于难题．8.已知集合，，则A.

B.

C.

D.

参考答案：C略9.已知a>0，b>0，a、b的等差中项是，且，则x+y的最小值是(

)A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：B10.关于函数，下列说法错误的是（

）（A）是的极小值点

(B)函数有且只有1个零点

(C)存在正实数，使得恒成立(D)对任意两个正实数，且，若，则参考答案：C，，且当时，，函数递减，当时，，函数递增，因此是的极小值点，A正确；，，所以当时，恒成立，即单调递减，又，，所以有零点且只有一个零点，B正确；设，易知当时，，对任意的正实数，显然当时，，即，，所以不成立，C错误；作为选择题这时可得结论，选C，下面对D研究，画出函数草图可看出（0，2）的时候递减的更快，所以二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知（），且满足的整数共有个，（）的最大值为，且，则实数的取值范围为

．参考答案：∵，∴是偶函数，又由绝对值性质知时，是增函数，所以由得，解得或，结合，可知也满足要求，所以，故.即在时恒成立.，且，可得当时，单调递减，符合题意；当时，，使得在单调递增，不合题意，舍去.故答案为.

12.抛物线的准线方程是

．参考答案：略13.若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则的取值范围为______________.参考答案：

14.已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为

.参考答案：略15.在△ABC中，a=2,c=4，且3sinA=2sinB,则cosC=

.参考答案：16.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的正弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为______.参考答案：【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．【详解】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，可得sin∠ASB．△SAB的面积为5，可得sin∠ASB＝5，即5，即SA＝4．SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：2．则该圆锥的侧面积：π＝40π．故答案为：40π．【点睛】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．17.已知展开式中的常数项为60，则

.参考答案：4的通项公式为，令，，，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：(a＞b＞0)，其短轴的一个端点与两个焦点构成面积为的正三角形，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．（I）求椭圆C的标准方程；（II）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，试求的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由面积为的正三角形的边长为2，即可求得a和c的值，b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的标准方程；（II）将直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式，求得P点坐标，求得直线PD的方程及D点坐标，求得丨PD丨及丨AB丨，则，由k的取值范围，即可求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设右焦点的坐标为（c，0），易知面积为的正三角形的边长为2，依题意知，，∴b2=a2﹣c2=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k（x﹣1），将其代入中得，（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣其中，△=144（k2+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为P为线段AB的中点，所以，点P的坐标为．故点P的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又直线PD的斜率为，直线PD的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令y=0得，，则点D的坐标为，所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵k2+1＞1，∴，∴．所以，的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.已知函数，直线l：y=kx﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k∈R，直线l都不是曲线y=f（x）的切线；（Ⅲ）试确定曲线y=f（x）与直线l的交点个数，并说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；解题思想；转化思想；解题方法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）定义域，求导，令f′（x）=0，解得x=1．利用导函数的符号，判断函数的单调性，求出函数的极值，（Ⅱ）假设存在某个k∈R，使得直线l与曲线y=f（x）相切，设切点为，求出切线满足斜率，推出，此方程显然无解，假设不成立．推出直线l都不是曲线y=f（x）的切线．（Ⅲ）“曲线y=f（x）与直线l的交点个数”等价于“方程的根的个数”．令，则k=t3+t+2，其中t∈R，且t≠0．函数h（t）=t3+t+2，其中t∈R，求出导数，判断函数的单调性，然后推出曲线y=f（x）与直线l交点个数．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数f（x）定义域为{x|x≠0}，…（1分）求导，得，…（2分）令f′（x）=0，解得x=1．当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表所示：x（﹣∞，0）（0，1）1（1，+∞）f′（x）+﹣0+f（x）↗↘

↗所以函数y=f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调减区间为（0，1），…（3分）所以函数y=f（x）有极小值f（1）=3，无极大值．

…（4分）（Ⅱ）证明：假设存在某个k∈R，使得直线l与曲线y=f（x）相切，…（5分）设切点为，又因为，所以切线满足斜率，且过点A，所以，…（7分）即，此方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意k∈R，直线l都不是曲线y=f（x）的切线．…（8分）（Ⅲ）解：“曲线y=f（x）与直线l的交点个数”等价于“方程的根的个数”．由方程，得．…（9分）令，则k=t3+t+2，其中t∈R，且t≠0．考察函数h（t）=t3+t+2，其中t∈R，因为h′（t）=3t2+1＞0时，所以函数h（t）在R单调递增，且h（t）∈R．…（11分）而方程k=t3+t+2中，t∈R，且t≠0．所以当k=h（0）=2时，方程k=t3+t+2无根；当k≠2时，方程k=t3+t+2有且仅有一根，故当k=2时，曲线y=f（x）与直线l没有交点，而当k≠2时，曲线y=f（x）与直线l有且仅有一个交点．…（13分）【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性，函数的零点，考查转化思想以及计算能力．20.选修4－5不等式选讲已知x，y，z均为正数．求证：．参考答案：选修4－5不等式选讲证明：因为x，y，z都是为正数，所以．………4分同理可得，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．……7分将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．…10分21.如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于，，连接．（I）求证：直线是⊙的切线；（II）若⊙的半径为，求的长．参考答案：略22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，，点O，M分别为AD，PC的中点