高数常系数非齐次线性微分方程_第1页
高数常系数非齐次线性微分方程_第2页
高数常系数非齐次线性微分方程_第3页
高数常系数非齐次线性微分方程_第4页
高数常系数非齐次线性微分方程_第5页
已阅读5页，还剩14页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

常系数非齐次线性微分方程第八节一、二、二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得为m次多项式.(1)若

不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为Q(x)为m次待定系数多项式(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若

是特征方程的重根

,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解代入方程即可确定系数：从而确定特解.特解的形式为将

提示因为f(x)Pm(x)ex3x1

0不是特征方程的根

所以非齐次方程的特解应设为

y*b0xb1

把它代入所给方程得

例1求微分方程y2y3y3x1的一个特解

解

齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30

[b0xb1]2[b0xb1]3[b0xb1]3b0x2b03b1

2b03b0x3b13b0x2b03b13x1

提示3b03

2b03b11

例2求微分方程y5y6yxe2x的通解

解

齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r

60

其根为r12

r23

提示齐次方程y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x

因为f(x)Pm(x)exxe2x

2是特征方程的单根

所以非齐次方程的特解应设为

y*x(b0xb1)e2x

把它代入所给方程得2b0x2b0b1x

提示2b01

2b0b10因此所给方程的通解为二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点第一步利用欧拉公式将f(x)变形第二步求如下两方程的特解

是特征方程的k

重根(

k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:第三步求原方程的特解

利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程

均为m次多项式.第四步分析因均为m次实多项式.本质上为实函数,小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.例4.的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解例5.的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为内容小结为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.(填空)

设2.求微分方程的通解(其中为实数).解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论