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文档简介
常系数非齐次线性微分方程第八节一、二、二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法一、
为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得为m次多项式.(1)若
不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为Q(x)为m次待定系数多项式(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若
是特征方程的重根
,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解代入方程即可确定系数:从而确定特解.特解的形式为将
提示因为f(x)Pm(x)ex3x1
0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0xb1
把它代入所给方程得
例1求微分方程y2y3y3x1的一个特解
解
齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30
[b0xb1]2[b0xb1]3[b0xb1]3b0x2b03b1
2b03b0x3b13b0x2b03b13x1
提示3b03
2b03b11
例2求微分方程y5y6yxe2x的通解
解
齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r
60
其根为r12
r23
提示齐次方程y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x
因为f(x)Pm(x)exxe2x
2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0xb1)e2x
把它代入所给方程得2b0x2b0b1x
提示2b01
2b0b10因此所给方程的通解为二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点第一步利用欧拉公式将f(x)变形第二步求如下两方程的特解
是特征方程的k
重根(
k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:第三步求原方程的特解
利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程
均为m次多项式.第四步分析因均为m次实多项式.本质上为实函数,小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的
k
重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.例4.的一个特解
.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解例5.的通解.
解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为内容小结为特征方程的k(=0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(=0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.(填空)
设2.求微分方程的通解(其中为实数).解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:
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