高中数学苏教版第二章数列数列 省一等奖

一、填空题1.已知数列{an}中，an＝eq\f(1,n（n＋2）)(n∈N*)，那么eq\f(1,120)是这个数列的第________项．2.已知数列{an}的图象是函数y＝eq\f(1,x)图象的一部分，则数列{an}的通项公式为________．3.在古希腊，人们把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第8个三角形数是____________．4.下列说法正确的是____________．(填序号)①数列1，2，3，4，5，6与数列6，5，4，3，2，1表示同一个数列；②根据数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项；③根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个；④如果数列{an}前n项的和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.5.已知数列{an}中，an＝n2＋2λn(λ是与n无关的常数)，且a1<a2<a3<…<an<an＋1<…，则实数λ的取值范围是____________．6.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2－9n＋1，则其通项an＝________．7.若an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么a2017与a2016之间的大小关系是________________________________________________________________________．8.已知数列{an}中，a1＝1，对于所有的正整数n，当n≥2时都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5的值为__________．9.已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时an－an－1＝n，则an＝__________．10.已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(n－\r(98),n－\r(99))(n∈N*)，给出下列说法：①数列{an}中的最大项和最小项分别是a10，a9；②数列{an}中的最大项和最小项分别是a9，a10；③数列{an}中的最大项和最小项分别是a1，a9；④数列{an}中的最大项和最小项分别是a1，a10.其中，说法正确的是________．(填序号)二、解答题11.已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，通项an相应的函数是一次函数．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成，试求数列{bn}的通项公式．12.已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1).(1)判断eq\f(98,101)是不是数列{an}中的一项；(2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0，1)内；(3)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有无数列{an}中的项？若有，是第几项？若没有，请说明理由．13设函数f(x)＝log2x－eq\f(1,log2x)(0<x<1)，数列{an}满足f(2an)＝2n(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)判断数列{an}的单调性．1.102.an＝eq\f(1,n)(n∈N*)3.36解析：由题图可知，第8个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.4.②③解析：①数列中的数是有先后顺序的，①错误；②显然正确；③由前几项归纳出数列的排列规律可能有多种，所以通项公式可能不止一个，③正确；④由于1是正的自然数，但是n＝1时Sn－1无意义，④错误．5.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞))解析：∵an＝n2＋2λn①，∴an＋1＝(n＋1)2＋2λ(n＋1)②.②－①，得an＋1－an＝2n＋1＋2λ，由已知，数列{an}为单调递增数列，则an＋1－an＞0对于任意n∈N*都成立，即2n＋1＋2λ＞0，∴λ＞－eq\f(1,2)(2n＋1)，易知当n＝1时－eq\f(1,2)(2n＋1)取最大值－eq\f(3,2)，∴λ＞－eq\f(3,2).6.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－7，n＝1，,2n－10，n≥2))解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n＋1－(n－1)2＋9(n－1)－1＝2n－10，又a1＝S1＝－7≠2×1－10，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－7，n＝1，,2n－10，n≥2.))7.a2017＞a2016解析：∵a2016＝eq\f(1,2017)＋eq\f(1,2018)＋eq\f(1,2019)＋…＋eq\f(1,2×2016)，a2017＝eq\f(1,2018)＋eq\f(1,2019)＋…＋eq\f(1,2×2016)＋eq\f(1,2×2016＋1)＋eq\f(1,2×2017)，∴a2017－a2016＝eq\f(1,2×2016＋1)＋eq\f(1,2×2017)－eq\f(1,2017)＝eq\f(1,2×2016＋1)－eq\f(1,2×2017)＞0.8.eq\f(61,16)解析：由a1·a2·a3·…·an＝n2，得a1a2＝4，a1a2a3＝9，∴a3＝eq\f(9,4).同理可得a5＝eq\f(25,16)，∴a3＋a5＝eq\f(61,16).9.eq\f(n（n＋1）,2)解析：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2).10.①解析：令f(n)＝eq\f(n－\r(98),n－\r(99))，则f(n)＝eq\f(n－\r(99)＋\r(99)－\r(98),n－\r(99))＝1＋eq\f(\r(99)－\r(98),n－\r(99))，∵eq\r(99)－eq\r(98)＞0，∴f(n)在(0，eq\r(99))和(eq\r(99)，＋∞)上都是减函数．∴当n＝9时an取最小值；当n＝10时an取最大值．11.解：(1)设an＝kn＋b，由a1＝3，a10＝21，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝3，,10k＋b＝21，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝1，))∴an＝2n＋1(n∈N*)．(2)∵{bn}是由{an}的偶数项组成，∴bn＝a2n＝2×2n＋1＝4n＋1(n∈N*)．12.解：(1)∵an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq\f(（3n－1）（3n－2）,（3n－1）（3n＋1）)＝eq\f(3n－2,3n＋1)，令eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(98,101)，解得n＝eq\f(100,3).∵eq\f(100,3)不是正整数，所以eq\f(98,101)不是该数列中的项．(2)∵an＝eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(3n＋1－3,3n＋1)＝1－eq\f(3,3n＋1)，又n∈N*，∴0<eq\f(3,3n＋1)<1，∴0<an<1.∴数列中的各项都在区间(0，1)内．(3)令eq\f(1,3)<an<eq\f(2,3)，即eq\f(1,3)<eq\f(3n－2,3n＋1)<eq\f(2,3)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n＋1<9n－6，,9n－6<6n＋2，))解得eq\f(7,6)<n<eq\f(8,3).又n∈N*，∴n＝2.故区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))上有数列{an}中的项，且只有一项，是第二项a2＝eq\f(4,7).13.解：(1)由f(x)＝log2x－eq\f(1,log2x)，得f(2an)＝an－eq\f(1,an)＝2n，所以aeq\o\al(2,n)－2nan－1＝0，解得an＝n±eq\r(n2＋1).因为0<x<1，所以0<2an<1，所以an<0.故an＝n－eq\r(n2＋1).(2)∵an＋1－an＝n＋1－eq\r(（n＋1）2＋1)－n＋eq\r(n2＋1)＝eq\r(n2＋1)＋1－eq\r(n2＋2n＋2)＝eq\f(（\r