高中数学苏教版第一章解三角形

学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA∶sinB的值是________．【解析】由正弦定理可知，sinA∶sinB＝a∶b＝5∶3.【答案】5∶32．在△ABC中，若A＝75°，B＝60°，c＝2，则b＝________.【解析】在△ABC中，C＝180°－A－B＝45°，∴b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(2sin60°,sin45°)＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)3．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosC,c)，则C的值为________．【解析】由正弦定理可知，eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinC,c)，又eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosC,c)，∴eq\f(sinC,c)＝eq\f(cosC,c)，即tanC＝1,0°<C<180°，∴C＝45°.【答案】45°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(π,4)))4．(2023·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝eq\r(6)，∠A＝eq\f(2π,3)，则∠B＝________.【解析】在△ABC中，根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，有eq\f(3,sin\f(2π,3))＝eq\f(\r(6),sinB)，可得sinB＝eq\f(\r(2),2).因为∠A为钝角，所以∠B＝eq\f(π,4).【答案】eq\f(π,4)5．在△ABC中，已知a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，A＝60°，则c＝________.【导学号：91730002】【解析】由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(4\r(2),4\r(3))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2).∵b<a，∴B＝45°，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝aeq\f(sinC,sinA)＝4eq\r(3)×eq\f(sin75°,sin60°)＝2(eq\r(2)＋eq\r(6))．【答案】2(eq\r(2)＋eq\r(6))6．在△ABC中，已知a＝18，b＝16，A＝150°，则满足条件的三角形有________个．【解析】A＝150°>90°，∵a>b，∴满足条件的三角形有1个．【答案】17．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的长为________．【解析】易得A＝75°，∴B为最小角，即b为最短边，∴由eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，得b＝eq\f(\r(6),3).【答案】eq\f(\r(6),3)8．(2023·苏州高二检测)在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝________.【解析】由A∶B∶C＝1∶2∶3，可知A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(π,2).∴a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝eq\f(1,2)∶eq\f(\r(3),2)∶1＝1∶eq\r(3)∶2.【答案】1∶eq\r(3)∶2二、解答题9．在△ABC中，若a＝2eq\r(3)，A＝30°，讨论当b为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？【解】当a<bsin30°，即b>4eq\r(3)时，无解；当a≥b或a＝bsinA，即b≤2eq\r(3)或b＝4eq\r(3)时，有一解；当bsinA<a<b，即2eq\r(3)<b<4eq\r(3)时，有两解．10．在△ABC中，b＝2a，B＝A＋60°，求角A【解】根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，把b＝2a代入得eq\f(a,sinA)＝eq\f(2a,sinB)，∴sinB＝2sinA.又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA，展开得－eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝0，∴sin(A－30°)＝0，解得A＝30°.能力提升]1．(2023·南通高二检测)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝eq\r(3)b，则角A等于________．【解析】由正弦定理可得，2asinB＝eq\r(3)b可化为2sinAsinB＝eq\r(3)sinB，又sinB≠0，即sinA＝eq\f(\r(3),2)，又△ABC为锐角三角形，得A＝eq\f(π,3).【答案】eq\f(π,3)2．(2023·广东高考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则eq\f(a,b)＝________.【解析】因为bcosC＋ccosB＝2b，所以sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，故sin(B＋C)＝2sinB.故sinA＝2sinB，则a＝2b，即eq\f(a,b)＝2.【答案】23．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是____________.【导学号：91730003】【解析】因为三角形有两解，所以asinB<b<a，即eq\f(\r(2),2)x<2<x，∴2<x<2eq\r(2).【答案】(2,2eq\r(2))4．在△ABC中，acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，判断△ABC的形状．【解】法一∵acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，∴asinA＝bsinB.由正弦定理可得a·eq\f(a,2R)＝b·eq\f(b,2R)，∴a2＝b2，即a＝b，∴△ABC为等腰三角形．法二∵acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co