材料力学竞赛辅导1

MechanicsofMaterials材料力学材料力学材料力学是一门美丽而有用的科学。静载荷静定强度刚度稳定性材料力学动载荷静载荷材料力学

静定超静定杆件的变形形式基本变形组合变形弯扭组合拉/压扭组合拉/压弯组合拉/压、弯、扭组合斜弯曲弯曲变形拉/压变形扭转变形剪切变形材料力学的基本任务强度刚度变形内力应力拉/压变形扭转变形弯曲变形组合变形NTQMNTQMσAN

=σσ≤maxΔl=N

lEAΔl≤〔Δl〕τ=TρI

pτmax≤τφl=TGIpφmax≤［φ］≤［θ］θmaxσmax≤σIzMyσ=τS※=IzbQθ=w=θθmax≤wmax≤wσ1σ2σ3≥≥σeqσ≤σmax≤σ压杆稳定材料力学的基本任务Pcrσcr稳定计算超静定问题支反力静定问题动载荷惯性载荷冲击载荷交变应力材料力学的基本任务强度刚度变形内力应力拉/压变形扭转变形弯曲变形组合变形NTQMNTQMσAN

=σσ≤maxΔl=N

lEAΔl≤〔Δl〕τ=TρI

pτmax≤τφl=TGIpφmax≤［φ］≤［θ］θmaxσmax≤σIzMyσ=τS※=IzbQθ=w=θθmax≤wmax≤wσ1σ2σ3≥≥σeqσ≤σmax≤σ变形体理想模型连续性均匀性各向同性小变形线弹性研究对象外力分析内力分析应力强度变形截面位移应变刚度胡克定律一、内力1、概念2、内力分量3、求内力的方法截面法MFRCzxyN

Q

Q

TMyMz截取代平轴力

剪力扭矩弯矩基本内容4、拉/压N

＋－5、扭转T＋－6、弯曲Q

＋－M＋－外力分析内力分析应力强度变形截面位移应变刚度胡克定律二、应力1、概念2、应力分量ΔFΔAlimΔA→0p=dFdA=ΔApknτσ3、拉/压σAN

=σNAN（）maxσmax=等截面杆ANmax=σmax拉为正,压为负σ=σsnσbn或许用应力失效断裂屈服σbσs极限应力三、强度1、概念2、强度条件τmax=TWp≤［τ］ANmaxσ≤σmax=(1)强度校核(2)许用载荷计算(3)截面尺寸设计3、强度计算线应变σΔsΔs+ΔuΔuΔslimΔs→0ε=无量纲ε拉为正，压为负radγ四、变形1、概念2、应变3、Hooke定律4、拉/压变形Δl=l1－l纵向变形Δb=b1－b横向变形ε=

Δllε=

Δbbll1bb

1

Poisson效应μ：泊松比ε=ε－μ0＜μ＜0.5σ=

Eετ=

Gγ弹性常数间的关系2(1+μ)EG=Δl=N

lEAΔl=N

liEAi∑阶梯杆Δl=N(x)EA(x)dx∫0lAAAΔl1Δl2A①②计算各杆的轴力计算各杆的变形计算节点的位移步骤①②AAAΔl1Δl2θ桁架节点位移计算ΔAy=Δl

1sinθΔAx=Δl

2+Δl

2tanθ外力分析内力分析应力变形截面位移应变胡克定律γρ=ρ(dφ/dx)T=∑dM=∫τρρdA其中得代入应变公式4、扭转τ=TρI

pτmax=TWpI

pWpτ切应力互等定理切应变γ=α+βταβ5、扭转变形φl=TGIplφ阶梯轴φli=TiGIpi∑lφ=T(x)GIp(x)dx∫0l五、刚度1、概念2、刚度条件3、刚度计算Δl≤〔Δl〕θ

max≤〔θmax〕拉/压扭转φ

max≤〔

φ

max〕梁横截面上的正应力外力分析内力分析应力强度变形截面位移应变刚度胡克定律弯矩M转角θyzhbyzhbQ：横截面上的剪力。IZ:整个横截面对中性轴的轴惯性矩:横截面上任意点处剪应力b:所求点处的受剪宽度SZ:所求点处横线以外部分面积对中性轴的静矩。六、超静定问题＞未知力的数目独立的平衡方程数超静定问题1.超静定问题的判断2.拉压超静定问题的解法变形变形力变形平衡条件变形协调条件物理条件力力1.图示结构，各杆的抗拉（压）刚度均为EA，杆①、②、③、④长度均为l

，在处作用力P。求各杆的轴力Ni

。P/2P/2①②③④45o45oBCDEG设各杆轴力为Ni45o45oGN3N2N4N1P/2P/2EN2N1+N2=PN3=N42N3cos45o

=N2Δl

12=Δl

4cos45oΔl

12=EAN1lEAN2l－=EAl(P－2N2)EAN4lΔl

3=Δl

4=Δl

12Δl

4N1=2P/3N2=P/3N3=N4=√2P/6历届竞赛试题2.图示由五根等直杆与刚性梁AB组成的平面结构。各杆的E、A、l与b均相同且已知。在刚性梁上距杆1为a处作用一铅垂载荷P，今欲通过电测方法测定P和a的值。试laABbbbb12345P=laABbbbb12345P/2P/2alaABbbbb12345P/2P/2a+（1）给出最佳贴片方案：应变片的片数。应变片各贴在何处。（2）给出P和a与测得的应变值εi

的关系式。laABbbbb12345P/2P/2alaABbbbb12345P/2P/2a+N1=N2=N3=N4=N5=P/5N3=0N1=

N5=2N2=2N4=2(2bN1N2+b)

(4b－2a)P/2N2=10bN2=20bP

(4b－2a)N4=N1=

N5=10bP

(4b－2a)N1=P(3/5－a/5b)N2=P(2/5－a/10b)N3=P/5N4=Pa/10bN5=P(－1/5+a/5b)laABbbbb12345P（1）给出最佳贴片方案：应变片的片数。应变片各贴在何处。（2）给出P和a与测得的应变值εi

的关系式。N1=P(3/5－a/5b)N2=P(2/5－a/10b)N3=P/5N4=Pa/10bN5=P(－1/5+a/5b)（1）贴二片。考虑测量灵敏度，贴杆1，5为好。（2）ε1=N1EA(3/5－a/5b)=PEAε5=N1EA=PEA(－1/5+a/5b)P=25EA(ε1+

ε5)a=ε1+

ε5ε1+3ε5b3.一结构如图示，圆轴与横梁牢固结合，垂直相交，立杆与横梁铰接，也垂直相交，横梁可视为刚体。试求杆的轴力N及圆轴所受的扭矩T。maaaaaABCDFGGIpEAEANNTmaaBA3.一结构如图示，圆轴与横梁牢固结合，垂直相交，立杆与横梁铰接，也垂直相交，横梁可视为刚体。试求杆的轴力N及圆轴所受的扭矩T。T+2aN=mNNTmaaBAφABΔl

CD=Δl

FG=φABaΔl

CD=Δl

FG=EAN

aGIpT

aφAB=N=T=4.图示，为传递扭矩T，将实心圆轴与一空心圆轴以紧配合的方式连接在一起。设两轴间均匀分布的配合压强p、摩擦系数μ、实心轴直径d、空心轴外径D、连接段长度L均为已知。两轴材料相同。（1）两轴在连接段全部发生相对滑动时的临界扭矩值Tcr

=?（2）设初始内外轴扭矩均为零，当传递扭矩从0增加到T=2/3Tcr

时，绘制实心内轴在连接段L的扭矩图。LdDTTLdDTTμπdp×d/2=μπpd22Tcr

=∫0Lμπpd22dx=μπpd22L(1)(2)τ=TρI

p=32TρπD4T1=∫0d/2dρτ2πρ2=32TπD4×2π∫0d/2dρρ3=D4d4T=3D42d4

Tcr

T1T－=μπpd22L1=μπpd63LD

4L1=3D42(D4－d4)LL2=3D42d4LTT1L2L1L/35.图示两端固定的圆截面杆，其AB段为实心杆，BC段为空心杆，即圆管。两段杆材料相同。在杆的截面B处作用力偶矩M，在线弹性条件下，当许用力偶矩［M］达到最大值时，两段长度比l1/l2=？l1l2ABCDαDM=0mAmC

mAl1GIp1=φAC－mc

l2GIp2Ip1Ip2=(1－α4)(1－α4)mA=l1l2mc=Wp2mCτmax=Wp1mAmC=Wp1(1－α4)(1－α4)mA=mcGIp1GIp2=mAmCθ=GIp1=mC(1－α4)(1－α4)mA=mcl1=l26.图示一均质、等厚矩形板，承受一对集中载荷P，材料服从胡克定律，弹性模量E与泊松比μ均为已知。设板具有单位厚度，试求板的面积A的改变量ΔA。ε=ε－με=Eσ=bE－P=bEPμΔA=A1－A=Aε1+()ε1+()－A=Aε+()ε=EPa()μ－1ab/2b/2PPaPPABllC8.为了在图示A与B两个固定点之间产生张力，人们常在这两点之间绷上绳子，然后从中点C绞紧。现设绳子的横截面为圆形，其半径为r，绳子材料的弹性模量为E。假定在绞紧过程中，A与B两点间的距离2l保持不变，同时在绞紧前，绳子的初始张力为零。试求为了使A与B之间的张力达到所必需P的绞紧圈数n。设2πrn＜＜l。PEπr2ε=Δllε=l1=－lllθ=2πθ=2πnlABllCk=l

/2πnθ=2πns=∫√a2+k2dθθ1θ2=√a2+k2θ2－θ1()l1=√r

2+(l

/2πn)

22πn=(

2πnr)

2+l

2l1

22πkn=lθ=2πθ=2πnθxyz2πk=lrABllC设2πrn＜＜l。PEπr2ε=s=∫√a2+k2dθθ1θ2=√a2+k2θ2－θ1()l1=√r

2+(l

/2πn)

22πn=(

2πnr)

2+l

2l1

2Δllε=l1=l－1(ε+1)2－1=2πnr

2l()ε=πnr

2l2()P2Eππr2=ln=9.一半径为a，长l的弹性圆轴E、ν，套在一刚性厚管内，轴和管之间有初始间隙δ，设轴受集中轴力P作用，当P=P1时轴和刚性壁接触，求值P1。当P＞P1后，壁和轴之间有压力，记μ为摩擦系数，这是轴能靠摩擦力来承担扭矩，当扭矩规定为M时，求对应的P值。Plδx当Δr=δσx=P/πa2Δr=εra

=－

ν

εx

a==δνPaEπa2εx=－PEπa2=EπaP1νδPlx当P＞P1后，壁和轴之间有压力，记μ为摩擦系数，这是轴能靠摩擦力来承担扭矩，当扭矩规定为M时，求对应的P值。=EπaP1νδ=P－P1ΔPσrΔμσrΔσxΔσtΔσrΔMM=σrΔμ2πalaσxΔ=πa2ΔPεrΔ=0=E1σtΔσrΔν－σxΔ+()εtΔ=0=E1σrΔσtΔν－σxΔ+()σrΔ=(1－ν)νσxΔσtΔ==(1－ν)MΔP2lμ