高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程 第2章章末复习提升

1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线几何条件与两个定点的距离的和等于常数与两个定点的距离的差的绝对值等于常数与一个定点和一条定直线的距离相等标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)图形顶点坐标(±a,0)(0，±b)(±a,0)(0,0)对称轴x轴，长轴长2a；y轴，短轴长2bx轴，实轴长2a；y轴，虚轴长2bx轴焦点坐标(±c,0)c＝eq\r(a2－b2)(±c,0)c＝eq\r(a2＋b2)(eq\f(p,2)，0)离心率0<e<1，e＝eq\f(c,a)e>1，e＝eq\f(c,a)e＝1准线x＝±eq\f(a2,c)x＝±eq\f(a2,c)x＝－eq\f(p,2)渐近线y＝±eq\f(b,a)x2.曲线与方程(1)曲线与方程：如果曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程．(2)圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比是定值e；当0<e<1时，圆锥曲线是椭圆；当e>1时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．3．直线与圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，与圆锥曲线D的方程联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,fx，y＝0，))可得(消去y)ax2＋bx＋c＝0(*)．(1)当a≠0时，若关于x的方程(*)的判别式Δ>0，则直线与圆锥曲线有两个不同交点；若Δ<0，则直线与圆锥曲线没有交点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线相切．(2)当a＝0时，若方程(*)有解，则直线与圆锥曲线有一个交点．题型一圆锥曲线定义与几何性质的应用椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，往往体现在数学上的转化与化归思想．圆锥曲线的几何性质包括椭圆、双曲线、抛物线的对称性、顶点坐标、离心率，双曲线的渐近线，抛物线的准线等内容，主要考查这些性质的理解记忆．例1如图，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，以该椭圆上的点和椭圆的左，右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(eq\r(2)＋1)；一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1·k2＝1.(1)解由题意知，椭圆离心率为eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，得a＝eq\r(2)c，又由以椭圆上的点和椭圆的左，右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(eq\r(2)＋1)，结合椭圆定义得2a＋2c＝4(eq\r(2)＋1)，所以可解得a＝2eq\r(2)，c＝2，故b2＝a2－c2＝4，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.易得椭圆的焦点坐标为(±2,0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1.(2)证明设点P(x0，y0)，则k1＝eq\f(y0,x0＋2)，k2＝eq\f(y0,x0－2)，所以k1·k2＝eq\f(y0,x0＋2)·eq\f(y0,x0－2)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－4)，又点P(x0，y0)在双曲线上，所以有eq\f(x\o\al(2,0),4)－eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)－4，所以k1·k2＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－4)＝1.跟踪演练1已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，O为原点，P为椭圆上任意一点．过F、B、C三点的圆的圆心坐标为(m，n)．(1)当m＋n≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)当(1)的条件下，椭圆的离心率最小时，若点D(b＋1,0)，(eq\o(PF,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))·eq\o(PO,\s\up6(→))的最小值为eq\f(7,2)，求椭圆的方程．解(1)设半焦距为c.由题意得FC、BC的中垂线方程分别为x＝eq\f(a－c,2)、y－eq\f(b,2)＝eq\f(a,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))，于是圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－c,2)，\f(b2－ac,2b))).所以m＋n＝eq\f(a－c,2)＋eq\f(b2－ac,2b)≤0，即ab－bc＋b2－ac≤0，即(a＋b)(b－c)≤0，所以b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2，所以e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)≤e＜1.(2)由(1)知emin＝eq\f(\r(2),2)，a＝eq\r(2)b＝eq\r(2)c，此时椭圆的方程为eq\f(x2,2c2)＋eq\f(y2,c2)＝1，设P(x，y)，则－eq\r(2)c≤x≤eq\r(2)c，所以(eq\o(PF,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))·eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)x2－x＋c2＝eq\f(1,2)(x－1)2＋c2－eq\f(1,2).当c≥eq\f(\r(2),2)时，上式的最小值为c2－eq\f(1,2)，即c2－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，得c＝2；当0＜c＜eq\f(\r(2),2)时，上式的最小值为eq\f(1,2)(eq\r(2)c)2－eq\r(2)c＋c2，即eq\f(1,2)(eq\r(2)c)2－eq\r(2)c＋c2＝eq\f(7,2)，解得c＝eq\f(\r(2)＋\r(30),4)，与0＜c＜eq\f(\r(2),2)矛盾，舍去．综上所述，椭圆的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.题型二与圆锥曲线有关的轨迹问题轨迹是动点按一定规律运动而形成的，轨迹的条件可以用动点坐标表示出来．求轨迹方程的基本方法是(1)直接法求轨迹方程：建立适当的直角坐标系，根据条件列出方程；(2)待定系数法求轨迹方程：根据曲线的标准方程；(3)定义法求轨迹方程：动点的轨迹满足圆锥曲线的定义；(4)代入法求轨迹方程：动点M(x，y)取决于已知曲线C上的点(x0，y0)的坐标变化，根据两者关系，得到x，y，x0，y0的关系式，用x，y表示x0，y0，代入曲线C的方程．例2如图，已知线段AB＝4，动圆O1与线段AB切于点C，且AC－BC＝2eq\r(2)，过点A、B分别作圆O1的切线，两切线交于点P，且P、O1均在AB的同侧，求动点P的轨迹方程．解建立如图所示的直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，由切线长定理得AC－BC＝PA－PB＝2eq\r(2)<4，∴点P的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的右支(不包括顶点)．∵a＝eq\r(2)，c＝2，∴b2＝2.∴动点P的轨迹方程是x2－y2＝2(x>eq\r(2))．跟踪演练2若动圆P过点N(－2,0)，且与另一圆M：(x－2)2＋y2＝8相外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．解设P(x，y)，因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以有PM＝PN＋2eq\r(2)，即PM－PN＝2eq\r(2)，故点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2eq\r(2)，焦距MN为4的双曲线的左支，即a＝eq\r(2)，c＝2，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)，从而动圆P的圆心的轨迹方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1(x≤－eq\r(2))．题型三圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中定点、定值、最值、范围问题是圆锥曲线的综合问题，它是解析法的应用，它涉及数形结合的数学思想，圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识的横向联系．解这类问题的分析思想与方法是可循的，重要的是要善于掌握圆锥曲线知识纵向、横向的联系，努力提高解题能力．例3如图，设A(a,0)(a>0)，B、C分别为x轴、y轴上的点，非零向量eq\o(BP,\s\up6(→))满足：eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)当点B在x轴上运动时，求点P的轨迹E的方程；(2)设Q是曲线E上异于P的点，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，求证：直线PQ过定点．(1)解设B(x0,0)，C(0，y0)，P(x，y)．∵eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴C是BP的中点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－x，,y0＝\f(1,2)y.))易知eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－x0，y0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－a，y0)，由eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，得ax0＋yeq\o\al(2,0)＝0，∴－ax＋eq\f(1,4)y2＝0，即y2＝4ax.又eq\o(BP,\s\up6(→))＝(2x，y)≠0，∴P点的轨迹方程是y2＝4ax(a>0，x≠0)．(2)证明∵eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，∴OP⊥OQ，显然直线OP的斜率存在，且不为0，∴可设直线OP：y＝kx，则直线OQ：y＝－eq\f(1,k)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4ax，,y＝kx，))得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a,k2)，\f(4a,k)))；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4ax，,y＝－\f(1,k)x，))得Q＝(4ak2，－4ak)．当k＝±1时，直线PQ的方程为x＝4a，过定点(4a,0)；当k≠±1时，直线PQ的方程为eq\f(y－\f(4a,k),－4ak－\f(4a,k))＝eq\f(x－\f(4a,k2),4ak2－\f(4a,k2))，整理得k(x－4a)＋(k2－1)y＝0，∵k≠0，∴过定点(4a,0)．综上，直线PQ必过定点(4a,0)．跟踪演练3如图，已知A(－3p,0)(p>0)，B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BQ,\s\up6(→))＝0，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CQ,\s\up6(→)).(1)求动点Q的轨迹方程；(2)设过点A的直线与Q的轨迹交于E、F两点，A′(3p,0)，求直线A′E，A′F的斜率之和．解(1)设Q(x，y)，B(0，y0)，C(x0,0)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x0，－y0)，eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(x－x0，y)，∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CQ,\s\up6(→))，∴(x0，－y0)＝eq\f(1,2)(x－x0，y)，即x0＝eq\f(x,3)，y0＝－eq\f(y,2).∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(y,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)，0)).又A(－3p,0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3p，－\f(y,2)))，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(3,2)y))，由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BQ,\s\up6(→))＝0，得3px－eq\f(3,4)y2＝0，即y2＝4px.∴Q点的轨迹方程为y2＝4px(p>0)．(2)设过点A的直线方程为y＝k(x＋3p)(k≠0)，E(x1，y1)，F(x2，y2)．联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋3p，,y2＝4px))消去x，得eq\f(k,4p)y2－y＋3kp＝0.∴y1y2＝12p2，kA′E＋kA′F＝eq\f(y1,x1－3p)＋eq\f(y2,x2－3p)＝eq\f(y1x2－3py1＋y2x1－3py2,x1－3px2－3p)，又yeq\o\al(2,1)＝4px1，yeq\o\al(2,2)＝4px2，∴kA′E＋kA′F＝eq\f(y1\f(y\o\al(2,2),4p)－3py1＋y2\f(y\o\al(2,1),4p)－3py2,x1－3px2－3p).由y1y