高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程 全国一等奖2

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是________．【解析】∵抛物线y＝2x2的标准方程是x2＝eq\f(1,2)y，∴2p＝eq\f(1,2)，p＝eq\f(1,4)，eq\f(p,2)＝eq\f(1,8)，∴焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))2．抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是________．【解析】∵2p＝10，p＝5，∴焦点到准线的距离为5.【答案】53．以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且准线经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．【解析】若抛物线的准线为x＝－2，则抛物线的方程为y2＝8x；若抛物线的准线为y＝－4，则抛物线的方程为x2＝16y.【答案】y2＝8x或x2＝16y4．已知抛物线y＝4x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标是________.【导学号：09390042】【解析】设M(x0，y0)，把抛物线y＝4x2化为标准方程，得x2＝eq\f(1,4)y.则其准线方程为y＝－eq\f(1,16)，由抛物线的定义，可知y0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,16)))＝1，得y0＝eq\f(15,16)，代入抛物线的方程，得xeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)×eq\f(15,16)＝eq\f(15,64)，解得x0＝±eq\f(\r(15),8)，则M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(15),8)，\f(15,16))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(15),8)，\f(15,16)))5．抛物线x2＝2y上的点M到其焦点F的距离MF＝eq\f(5,2)，则点M的坐标是________．【解析】设点M(x，y)，抛物线准线为y＝－eq\f(1,2)，由抛物线定义，y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(5,2)，y＝2，所以x2＝2y＝4，x＝±2，所以点M的坐标为(±2,2)．【答案】(±2,2)6．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．【解析】如图，由抛物线的定义知，AM＋BN＝AF＋BF＝3，CD＝eq\f(3,2)，所以中点C的横坐标为eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，即C到y轴的距离为eq\f(5,4).【答案】eq\f(5,4)7．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．【解析】设动圆半径为r，动圆圆心O′(x，y)到点(2,0)的距离为r＋′到直线x＝－1的距离为r，∴O′到(2,0)的距离与O′到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为y2＝8x.【答案】y2＝8x8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)．若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．【解析】由题意可求出线段OA的垂直平分线交x轴于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0))，此点为抛物线的焦点，故准线方程为x＝－eq\f(5,4).【答案】x＝－eq\f(5,4)二、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值．【解】法一：由题意可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，因为点M在抛物线上，且MF＝5，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))2＝5，)))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝2\r(6)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝－2\r(6).))故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m的值为±2eq\r(6).法二：由题可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，准线方程为x＝eq\f(p,2)，根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离为5，则3＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.又点M(－3，m)在抛物线上，∴m2＝24，∴m＝±2eq\r(6).10．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1上的抛物线的标准方程．【解】由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，则焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，0)).∵焦点在双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1上，∴eq\f(m2,4×4)＝1，求得m＝±4，∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.能力提升]1．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________.【导学号：09390043】【解析】圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据已知，只要FM>4即可．根据抛物线定义，FM＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2.故y0的取值范围是(2，＋∞)．【答案】(2，＋∞)2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．【解析】因为抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，所以直线l的方程为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4)))，它与y轴的交点为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)))，则△OAF的面积为eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝4，解得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.【答案】y2＝8x或y2＝－8x3．已知点P是抛物线y2＝4x上的点，设点P到抛物线准线的距离为d1，到圆(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的一动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________．【解析】由抛物线的定义得P到抛物线准线的距离为d1＝PF，d1＋d2的最小值即为抛物线的焦点F(1,0)到圆(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的一动点Q的距离的最小值，最小值为F与圆心的距离减半径，即为4，故填4.【答案】44．如图2­4­1所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．图2­4­1(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB