社会经济统计学(章)

第五章时间数列第一节时间数列的编制意义和原则第二节时间数列的常用指标第三节时间数列分析方法第一节时间数列的编制意义和原则一.时间数列的概念和作用二.时间序列的种类三.时间序列的编制原则

时间数列的概念和作用时间数列的概念1.同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列2.形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成3.排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式教材P131时间序列（例子）表：

国内生产总值等时间序列年

份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)人口自然增长率(‰)居民消费水平(元)19901991199219931994199519961997199818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.811433311582311717111851711985012112112238912362612481014.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.538038961070133117812311272629443094时间数列的作用1、通过编制时间数列，可以反映社会经济现象的发展变化及历史状况，还可以根据动态数列计算各种时间动态指标数值，以便具体深入地揭示现象发展变化的数量特征。2、通过时间数列，可以揭示社会经济现象的数量变化趋势，以便进一步研究确定这种趋势和波动是否有规律性的反映。3、通过时间数列，可以对某些社会经济现象进行长期趋势、季节变动、循环波动和不规则变化，对社会经济现象的发展过程前景进行预测。4、利用不同的时间数列进行对比，或不同国家(或地区)间的相同动态数列对比是对社会经济现象进行统计分析的重要方法之一。教材P132时间数列的分类时间序列的分类时间序列平均数序列绝对数序列相对数序列时期序列时点序列教材P132-134时间序列的编制原则1、时间长短统一2、总体范围统一

3、计算方法、价格和计量单位的统一

4、指标的经济含义统一

教材P135-136第二节时间序列的常用指标一、发展水平与增长量二、发展速度与增长速度

三、平均发展水平四、平均发展速度

发展水平

（概念要点）发展水平现象在不同时间上的观察值说明现象在某一时间上所达到的水平表示为Y1，Y2，…，Yn

或Y0

，Y1，Y2，…，Yn教材P136增长量（概念要点）报告期水平与基期水平之差，说明现象在观察期内增长的绝对数量有逐期增长量与累积增长量之分逐期增长量报告期水平与前一期水平之差计算形式为：Δi=Yi-Yi-1(i=1,2,…,n)累积增长量报告期水平与某一固定时期水平之差计算形式为：Δi=Yi-Y0(i=1,2,…,n)各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量教材137-138发展速度（要点）报告期水平与基期水平之比说明现象在观察期内相对的发展变化程度有环比发展速度与定期发展速度之分教材P138环比发展速度与定基发展速度（要点）环比发展速度报告期水平与前一期水平之比定基发展速度报告期水平与某一固定时期水平之比环比发展速度与定基发展速度（关系）观察期内各环比发展速度的连乘积等于最末期的定基发展速度

两个相邻的定基发展速度，用后者除以前者，等于相应的环比发展速度增长速度（要点）增长量与基期水平之比又称增长率说明现象的相对增长程度有环比增长速度与定期增长速度之分计算公式为教材P139-140环比增长速度与定基增长速度（要点）环比增长速度报告期水平与前一时期水平之比定基增长速度报告期水平与某一固定时期水平之比发展速度与增长速度的计算（实例）表：

第三产业国内生产总值速度计算表年

份19941995199619971998国内生产总值(亿元)14930.017947.220427.524033.326104.3发展速度(%)环比定基

—100120.2120.2113.8136.8117.7161.0108.6174.8增长速度(%)环比定基

——20.220.213.836.817.761.08.674.8【例】

根据前表中第三产业国内生产总值序列，计算各年的环比发展速度和增长速度，及以1994年为基期的定基发展速度和增长速度

增长1%绝对值速度每增长一个百分点而增加的绝对量用于弥补速度分析中的局限性计算公式为教材P141速度的分析与应用（例子）表：

甲、乙两个企业的有关资料年

份甲

企

业乙

企

业利润额(万元)增长率(%)利润额(万元)增长率(%)2007500—60—2008600208440【例】

假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表：

甲企业增长1%绝对值＝500/100＝5万元乙企业增长1%绝对值＝60/100＝0.6万元平均发展水平绝对数序列的序时平均数（计算方法）计算公式：【例】

根据前表中的国内生产总值序列，计算各年度的平均国内生产总值

时期序列教材P141-142绝对数序列的序时平均数（计算方法）当间隔相等(T1=T2=…=Tn-1)时，有时点序列—间隔相等Y1Y2Y3YnYn-1教材P143绝对数序列的序时平均数（实例）【例】

根据前表中年末总人口数序列，计算1991～1998年间的年平均人口数

绝对数序列的序时平均数

（计算方法）时点序列—间隔不相等Y1Y2Y3YnY4Yn-1T1T2T3Tn-1绝对数序列的序时平均数

（计算方法）计算步骤计算出两个点值之间的平均数用相隔的时期长度(Ti)加权计算总的平均数教材P144绝对数序列的序时平均数

（实例）表：

某种股票2007年各统计时点的收盘价统计时点1月1日3月1日7月1日10月1日12月31日收盘价(元)15.214.217.616.315.8【例】设某种股票2007年各统计时点的收盘价如下表，计算该股票2007年的年平均价格

相对数（或平均数）序列的序时平均

（计算方法）先分别求出构成相对数或平均数的分子ai和分母

bi的平均数再进行对比，即得相对数或平均数序列的序时平均数基本公式为教材P145-150

相对数序列的序时平均数

（计算方法与实例）【例】已知1994~1998年我国的国内生产总值及构成数据如表，计算1994~1998年间我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重表：

我国国内生产总值及其构成数据年

份19941995199619971998

国内生产总值(亿元)

其中∶第三产业(亿元)

比重(%)46759.414930.031.958478.117947.230.767884.620427.530.174772.424033.332.179552.826104.332.8

相对数序列的序时平均数

（计算结果）解：第三产业国内生产总值的平均数全部国内生产总值的平均数第三产业国内生产总值所占平均比重平均增长量

（概念要点）1.观察期内各逐期增长量的平均数2.描述现象在观察期内平均增长的数量3.计算公式为平均速度平均发展速度

（要点）观察期内各环比发展速度的平均数说明现象在整个观察期内平均发展变化的程度通常采用几何法(水平法)计算计算公式为教材P151平均发展速度与平均增长速度（实例）

平均发展速度平均增长速度【例】

根据前表中的有关数据，计算1994～1998年间我国第三产业国内生产总值的年平均发展速度和年平均增长率从最初水平Y0出发，每期按平均发展速度发展，经过n期后将达到最末期水平Yn按平均发展速度推算的最后一期的数值与最后一期的实际观察值一致只与序列的最初观察值Y0和最末观察值Yn有关如果关心现象在最后一期应达到的水平，采用水平法计算平均发展速度比较合适平均发展速度

（几何法的特点）年度化增长率

（要点）增长率以年来表示时，称为年度化增长率或年率可将月度增长率或季度增长率转换为年度增长率计算公式为m为一年中的时期个数；n为所跨的时期总数季度增长率被年度化时，m＝4月增长率被年度化时，m＝12当m＝n时，上述公式就是年增长率年度化增长率

（实例）【例】已知某地区的如下数据，计算年度化增长率1999年1月份的社会商品零售总额为25亿元，2000年1月份零售总额为30亿元1998年3月份财政收入总额为240亿元，2000年6月份的财政收入总额为为300亿元2000年1季度完成的国内生产总值为500亿元，2季度完成的国内生产总值为510亿元1997年4季度完成的国内生产总值为280亿元，2000年4季度完成的国内生产总值为350亿元年度化增长率

（计算结果）解：由于是月份数据，所以m=12；从1999年一月到2000年一月所跨的月份总数为12，所以n=12

即年度化增长率为20%，这实际上就是年增长率，因为所跨的时期总数为一年。也就是该地区社会商品零售总额的年增长率为20%(同比增长)年度化增长率

（计算结果）解：

m=12，n=27

年度化增长率为该地区财政收入的年增长率为10.43%年度化增长率

（计算结果）解：由于是季度数据，所以m=4，从一季度到二季度所跨的时期总数为1，所以n=1

年度化增长率为即根据第一季度和第二季度数据计算的国内生产总值年增长率为8.24%

年度化增长率

（计算结果）解：

m=4，从1997年四季度到2000年四季度所跨的季度总数为12，所以n=12

年度化增长率为即根据1997年四季度到2000年四季度的数据计算，工业增加值的年增长率为7.72%，这实际上就是工业增加值的年平均增长速度速度的分析与应用

（需要注意的问题）当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度例如：假定某企业连续五年的利润额分别为5、2、0、-3、2万元，对这一序列计算速度，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析在有些情况下，不能单纯就速度论速度，要注意速度与绝对水平的结合分析第三节时间数列的分析时间序列的构成要素与模型长期趋势季节变动时间序列的构成要素与模型

（构成要素与测定方法）线性趋势时间序列的构成要素

循环波动季节变动长期趋势剩余法移动平均法移动中位数法线性模型法不规则波动非线性趋势趋势剔出法按月(季)平均法Gompertz曲线指数曲线二次曲线修正指数曲线Logistic曲线时间序列的构成要素与模型

（要点）构成因素长期趋势(Seculartrend)季节变动(SeasonalFluctuation)循环波动(CyclicalMovement)不规则波动(IrregularVariations)模型乘法模型：Yi=Ti×Si

×Ci

×Ii

加法模型：Yi=Ti+Si

+Ci

+Ii

教材P156-158长期趋势分析

（概念要点）现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态由影响时间序列的基本因素作用形成时间序列的主要构成要素有线性趋势和非线性趋势线性趋势线性趋势现象随时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化规律2、测定方法有时距扩大法移动平均法移动中位数法线性模型法等移动平均法

(MovingAverageMethod)测定长期趋势的一种较简单的常用方法通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，计算出一系列移动平均数由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到修匀作用，从而呈现出现象发展的变动趋势移动步长为K(1<K<n)的移动平均序列为教材P160-164移动平均法

(实例)表：1981～1998年我国汽车产量数据年

份产量(万辆)年份产量(万辆)19811982198319841985198619871988198917.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3519901991199219931994199519961997199851.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00【例】已知1981～1998年我国汽车产量数据如表。分别计算三年和五年移动平均趋势值，以及三项和五项移动中位数，并作图与原序列比较

移动平均法

(趋势图)05010015020019811985198919931997产量五项移动平均趋势值五项移动中位数汽车产量（万辆）

图：

汽车产量移动平均趋势图（年份）移动平均法

(应注意的问题)移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置对于偶数项移动平均需要进行“中心化”移动间隔的长度应长短适中如果现象的发展具有一定的周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度若时间序列是季度资料，应采用4项移动平均若为月份资料，应采用12项移动平均线性模型法

（概念要点与基本形式）现象的发展按线性趋势变化时，可用线性模型表示线性模型的形式为

—时间序列的趋势值

t—时间标号

a—趋势线在Y轴上的截距

b—趋势线的斜率，表示时间t

变动一个单位时观察值的平均变动数量教材P171-173线性模型法

（a和b的最小二乘估计）趋势方程中的两个未知常数

a和

b按最小二乘法(Least-squareMethod）求得根据回归分析中的最小二乘法原理使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线根据趋势线计算出各个时期的趋势值线性模型法

（a和b的最小二乘估计）1.根据最小二乘法得到求解a和b

的标准方程为取时间序列的中间时期为原点时有t=0，上式可化简为解得：解得：线性模型法

(实例及计算过程)【例】利用表中的数据，根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程，计算出1981～1998年各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较表11-8汽车产量直线趋势计算表年份时间标号t产量(万辆)Yit×Ytt2趋势值19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.0017.5639.2671.94126.56218.60221.88330.26515.76525.15514.00785.621280.041688.051913.662179.052360.322690.252934.001491625364964811001211441691962252562893240.009.5019.0028.5038.0047.5057.0066.5076.0085.5095.00104.51114.01123.51133.01142.51152.01161.51合计1711453.5818411.9621091453.58线性模型法

（计算结果）根据上表得a和

b

结果如下汽车产量的直线趋势方程为$Yt

=-9.4995+9.5004t$Y2000=-9.4995+9.5004

×20=

180.51(万辆)2000年汽车产量的预测值为线性模型法

(趋势图)05010015020019811985198919931997汽车产量趋势值

图：

汽车产量直线趋势（年份）汽车产量（万辆）非线性趋势现象的发展趋势为抛物线形态一般形式为二次曲线

(SecondDegreeCurve)

a、b、c为未知常数根据最小二乘法求得二次曲线

(SecondDegreeCurve)

取时间序列的中间时期为原点时有根据最小二乘法得到求解a、b、c

的标准方程为二次曲线

(实例)

【例】

已知我国1978～1992年针织内衣零售量数据如表。试配合二次曲线，计算出1978～1992年零售量的趋势值，并预测1993年的零售量，作图与原序列比较表：1978～1992年针织内衣零售量年

份零售量(亿件)年

份零售量(亿件)197819791980198119821983198419857.09.19.710.811.712.113.114.3198619871988198919901991199214.414.815.012.311.29.48.9二次曲线

(计算过程)

表：

针织内衣零售量二次曲线计算表年份时间标号t零售量(亿件)

Ytt×Ytt2t2Ytt4趋势值197819791980198119821983198419851986198719881989199019911992-7-6-5-4-3-2-1012345677.09.19.710.811.712.113.114.314.414.815.012.311.29.48.9-49.0-54.6-48.5-43.2-35.1-24.2-13.1014.429.645.049.256.056.462.349362516941014916253649343.0327.6242.5172.8105.348.413.1014.459.2135.0196.8280.0338.4436.12401129662525681161011681256625129624016.58.410.011.312.313.213.714.014.013.813.312.611.610.38.8合计0173.845.22802712.69352173.8二次曲线

（计算结果）根据计算表得a

、

b

、c

的结果如下针织内衣零售量的二次曲线方程为$Yt

=13.9924+0.16143t–0.128878t2$Y1993=13.9924+0.16143

×8–0.128878×82

=7.03(亿件)1993年零售量的预测值为二次曲线

(趋势图)048121619781980198219841986198819901992零售量趋势值零售量（亿件）图：

针织内衣零售量二次曲线趋势（年份）用于描述以几何级数递增或递减的现象一般形式为指数曲线

(Exponentialcurve)

a、b为未知常数若b>1，增长率随着时间t的增加而增加若b<1，增长率随着时间t的增加而降低若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限教材P173-174指数曲线

(a、b的求解方法)

取时间序列的中间时期为原点，上式可化简为采取“线性化”手段将其化为对数直线形式根据最小二乘法，得到求解lga、lgb

的标准方程为指数曲线

(实例及计算结果)

【例】根据前表中的资料，确定1981～1998年我国汽车产量的指数曲线方程，求出各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较汽车产量的指数曲线方程为2000年汽车产量的预测值为指数曲线

(趋势图)05010015020025019811985198919931997汽车产量趋势值图：

汽车产量指数曲线趋势（年份）汽车产量（万辆）指数曲线与直线的比较比一般的趋势直线有着更广泛的应用可以反应出现象的相对发展变化程度上例中，b=1.14698表示1981～1998年汽车产量趋势值的平均发展速度不同序列的指数曲线可以进行比较比较分析相对增长程度在一般指数曲线的基础上增加一个常数K一般形式为修正指数曲线

(Modifiedexponentialcurve)

K、a、b为未知常数K>0，a≠0，0<b≠1修正指数曲线用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则以K为增长极限修正指数曲线

(求解k、a、b

的三和法)

趋势值K无法事先确定时采用将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m个时期令趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和修正指数曲线

(求解k、a、b

的三和法)

根据三和法求得设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S3修正指数曲线

(实例)

【例】

已知1978~1995年我国小麦单位面积产量的数据如表。试确定小麦单位面积产量的修正指数曲线方程，求出各年单位面积产量的趋势值，并预测2000年的小麦单位面积产量，作图与原序列比较表：1978～1995年小麦单位面积产量数据年

份单位面积产量(公斤/公顷)年

份单位面积产量(公斤/公顷)197819791980198119821983198419851986184521451890211524452805297029403045198719881989199019911992199319941995298529703045319531053331351934263542修正指数曲线

（计算结果）解得K、a

、b

如下修正指数曲线

（计算结果）小麦单位面积产量的修正指数曲线方程为$Yt

=3659.149–2230.531(0.87836)t2000年小麦单位面积产量的预测值为$Y2000

=3659.149–2230.531(0.87836)23

=3546.20(kg)修正指数曲线

(趋势图)0100020003000400019781982198619901994单位面积产量趋势值K

图：

小麦单位面积产量修正指数曲线趋势（年份）产单位面积量（公斤/公顷）K=3659.149以英国统计学家和数学家B·Gompertz

而命名一般形式为K、a、b为未知常数K>0，0<a≠1，0<b≠1龚铂茨曲线

(Gompertzcurve)

所描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线两端都有渐近线，上渐近线为YK,下渐近线为Y=0将其改写为对数形式Gompertz曲线

(求解k、a、b

的三和法)

仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出lg

a、lg

K、b取lg

a、lg

K的反对数求得a和K

令：则有：Gompertz曲线

(实例)

【例】

根据上表的数据，试确定小麦单位面积产量的Gompertz曲线方程，求出各年单位面积产量的趋势值，并预测2000年的小麦单位面积产量，作图与原序列比较Gompertz曲线

（计算结果）Gompertz曲线

（计算结果）小麦单位面积产量的Gompertz

曲线方程为2000年小麦单位面积产量的预测值为Gompertz曲线

(趋势图)

0100020003000400019781982198619901994单位面积产量趋势值KK=3566.04

图：

小麦单位面积产量Gompertz曲线趋势（年份）（公斤/公顷）罗吉斯蒂曲线

(LogisticCurve)

K、a、b为未知常数K>0，a>0，0<b≠11838年比利时数学家Verhulst所确定的名称该曲线所描述的现象的特征与Gompertz曲线类似3.其曲线方程为Logistic曲线

(求解k、a、b

的三和法)

取观察值Yt的倒数Yt-1当Yt-1

很小时，可乘以10的适当次方

a、b、K的求解方程为趋势线的选择观察散点图根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线一次差大体相同，配合直线二次差大体相同，配合二次曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线对数一次差的环比值大体相同，配合

Gompertz

曲线倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线3.比较估计标准误差教材P176-177

季节变动分析季节变动及其测定目的季节变动现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动各年变化强度大体相同、且每年重现指任何一种周期性的变化时间序列的又一个主要构成要素测定目的确定现象过去的季节变化规律消除时间序列中的季节因素季节变动的分析原理将季节变动规律归纳为一种典型的季节模型季节模型由季节指数所组成季节指数的平均数等于100%根据季节指数与其平均数(100%)的偏差程度测定季节变动的程度如果现象没有季节变动，各期的季节指数等于100%如果某一月份或季度有明显的季节变化，各期的季节指数应大于或小于100%季节变动的分析原理季节模型时间序列在各年中所呈现出的典型状态，这种状态年复一年以相同的形态出现由季节指数组成，各指数刻划了现象在一个年度内各月或季的典型数量特征以各个指数的平均数等于100%为条件而构成如果分析的是月份数据，季节模型就由12个指数组成；若为季度数据，则由4个指数组成季节变动的分析原理季节指数反映季节变动的相对数以全年月或季资料的平均数为基础计算的平均数等于100%月(或季)的指数之和等于1200%(或400%)指数越远离其平均数(100%)季节变动程度越大计算方法有按月(季)平均法和趋势剔出法按月(季)平均法（同期平均法）

(原理和步骤)

根据原时间序列通过简单平均计算季节指数假定时间序列没有明显的长期趋势和循环波动计算季节指数的步骤计算同月(或同季)的平均数计算全部数据的总月(总季)平均数计算季节指数(S)

教材P179-180按月(季)平均法

(实例)

表：1978～1983年各季度农业生产资料零售额数据年

份销售额(亿元)一季度二季度三季度四季度19781979198019811982198362.671.574.875.985.286.588.095.3106.3106.0117.6131.179.188.596.495.7107.3115.464.068.768.569.978.490.3【例】

已知我国1978～1983年各季度的农业生产资料零售额数据如表11.15。试用按季平均法计算各季的季节指数按月(季)平均法

(计算表)

表：

农业生产资料零售额季节指数计算表年

份销售额(亿元)一季度二季度三季度四季度全年合计19781979198019811982198362.671.