2021届吉林省长春市高三第一次质量监测(一模)数学试题(理)

高中数学月/段考试题吉林省长春市届高第一次质量监测（一模）数学试题（理）一、选择题本共12小，每小题5分，共60.在每小题给出的四个选项只一项是符合题目要求.1.已知集合{x},{x|xA.1个B.2C.3个是（）2.函数sin2x

2

x0},则合AD.4个

B

的元素个数

）A.周为

的奇函数

B.期为2

的偶函数C.期为的函数3.在中

是Asin

的

D.周为的函数A.充不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既充分也不必要条件4.张老师居住的一条街行驶着、乙两路公交这两路公交车的数目相并且都是每隔十分钟就到达车站一即停即走张老师每天早晨都是在6:00到6:10之到达车乘车到学校这条公交线路对他是一样都以到达学甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，，乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,，张老师乘坐上甲路公交车的概率是（）A.B.50%C.60%D.90%5.长江流域内某地南北两岸平行如示知船静水中的航行速v1

的大小v1

,水的速度v的小v4km/h,设和所成角为221

(0

，若游船要从A航行正北方向上位于北岸的码头处则cos等（）A.

B.

C.D.51

高中数学月/段考试题6.已知函数

f

则函数在

上的大致图象为（）7.将长、宽分别为3和的方形沿对角线BD折得到四面体则四面体A的外接球体积为（）A.

8B.C.4D.38.已知抛物线

y2

F

的直线l

与抛物线分别交于

B

两点(点

在第一象限，且

ABFB

则直线l

的倾斜角为（）A.

B.C.D.39.对于函数

f

下列结论中正确的是（）A.f

为奇函数

B.

在定义域上是单调递减函数C.f

的图象关于点

对称

D.10.如图在积为1的方形BCD1

内做四边形

ABD使AA222221BC,CCDA112211

以此类推在边形

ABCD22

内再做四边形

D3

……，记四边形

Diiii

的面积为

ai,)i

，则a1

（）2

nn高中数学月/段考试题nn99A.]B.[1]543C.]D.]2双线:

yaa22

被斜率为

的直线截得的弦

的中点为

则双曲线E的心率为（）A

.3

C

D.5已偶数

f(x)满

则f的值为（）A

..二、填空题本共4小每小题5分共分13.若

2,

则sin2

.14.若复数满则z

.15.如,一边0cm的正方形铁片上有四块阴影部分将些阴影部分裁下后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容,把器的容积(单位)表为

(单位:

cm

)的函数为

.3

高中数学月/段考试题16.已知是列{}n

的前n项满

S

32n2

,则

a

数{

}2nn

的前n

项和

T

.三、解答题共70分解应写出字说明、证明过程或演算步第17-21题为必考题每试题考生都必须作答第-为选考题考根据要求作.(一必考题共分17.(12分如在棱锥中底为方形⊥底面ABCD,

,为PB的中点F为段上的动点(I)求:平面

AEF

平面;(Ⅱ求二面角PDCE的弦值PED

CA

B

F18.(12分在ABC中

A,B

的对边分别为

ab,c且足

.(I)求C

;(Ⅱ若

ab

,求

cos

19.(12分某小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供为好日常生活必需的4

高中数学月/段考试题甲类物资的供应超对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调,得了以下频率分布直方图如)现从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取5户(I)若频率视为概,至少有两户购买量在kg)的率(Ⅱ若抽取的户中购买量在)的户数为2户从这户选出户进行生活情况调查记3户需求量在)的户数为求ξ的布列和期.20.(12分已知椭圆

x2

y24

,直线

y

分别与

轴

轴交于

,

两点与圆交于

A,B两点(I)若

AM

求直线l的程(Ⅱ若点P的标为

求△面的最大值.21.(12分5

1高中数学月/段考试题1设函数fx

.(I)当a

时求数

f

的单调区间(Ⅱ当0时,求证:

f(二选考题共分请考生在22、题中任选一题作,如多做则按所的第一题计.22.『选修-坐标系与参数方程』)已知直线l

的参数方程为

xty

(t为数,以坐标原点为极,轴非负半轴为极轴建立极坐标系圆的坐方程为

2cos

(I)求线l

的普通方程和圆C的角坐标方程(Ⅱ若直线l

与圆C相于A,B两点求|23.『选修-不等式选讲』(10分已知

aba(I)求:(Ⅱ求证:

222b

223

.——★*考*答*案★—一选题本大题共12小，每小题分共60分6

高中数学月/段考试题1.『析』A1,0,1,2},B{xx或x2},

所以

A

B

故选B.2.D『析』sin2x

cos

故T=

且为偶函数故3．『析』易知在三角形中，A是sinsinB的充要条件故4.D『析』张老师到达车站在：00-中是等可能,故老师在6:00-6:09到车站的概率为90%,故有的能乘坐甲路公交车，选D5．『析』由题意知

1

|vv|212

所以

选6．『析』由

f)

可得

yf

的图象关于直线x

对称排BC,当x(1,2),f7.

排除D,选A.『析』

BD

中点到A,B,C,D的离均为1,故的体积为

,故A.8．『析』如图过作’,BB垂直线

x

,垂为’,B过作AA垂线垂为由物线定义知

BF|AFAABFAF|

2|AC

所以

cosBAC

,BAC,所以直线l倾角为,选39.C7

29高中数学月/段考试题290『析』fx

由图象可知图关于点

对称,因不是奇函数,在定义域内函数为增函在10.B

故选C.5『解析』由图可知,a,a,9

,

,

所以其前n

项和为9[1]411.B

,故B.『析』设

Ay112

代入双曲线方程作差有

11a

1b2

,有

2(y)(yy)1222(xx)2

,所，a23,12.

故选B.『析』由题意可知函数

的周期为4,又

log841

当3x

则

则84)84(4log81二、填空题本题共4小题每小题5分共20分

故选A13.『析』14.

sin2

cos21『析』设

R

315.

V

2

2

x8

n1高中数学月/段考试题n1『解析』由题意可知,正四棱锥的高为2xV225x10)46

x2

,所以容积16.

ann

，

Tn

122(2)『析』2,1nn

n

n

,所以(nn(n2((n((2)2((

)

11n{}2n2a2n

的前n

项和

1T22(2)

.三，简答题17.(1)证明：因为

,E为PB中所

AEPB因为

平面ABCD所

PABC由

BC,

所以⊥面,所以BCAE又

BC

PB,所以⊥面,所以平面

AEF

平面.解法1:取

中点连GEGD由

GE,CD//AB

,所以

GE//

故GE平面EDC因⊥面所以

PA,

由CD

所以CD平面所

,GD,

所以∠为面角的平面角在

中

PG2,GD

5,

所以

(12)法2:以为原,AP为,yz建立空间直角坐标系有

设平面PCD的个法向量为

z11

平面ECD的个法向量为

m,22

y有，，1

9

2高中数学月/段考试题2y又，2即二面角P-DCE的余弦值为

(12)

,所以

3m|18.解(1)由弦定理知

A

siCc有

sinBcosCcosBC

12sinsinC,以cosC2

（分）c2cosC所以

A

2

24

，

A

3

，

,所

83311cos2

(12)4719．：(1)P(4128(2)的能值为0,1,2

分

C1C2C6C23；32；C3ξ的布列为20．：设

A12

联立直线方程与椭圆方程有4kx

有

2

0,

有

x42，222

所以AB中点坐标为

k,4

,(k0)由

1M中坐标为

12

10

1k2e高中数学月/段考试题1k2e因为

AM

kk所以线段的点与AB的点重合有1442

解得k

(6)由1)知S

kk2

k

2

因为

3,所以

1

433所以

PAB

62

1

32

当k=0时PAB积最大(12分21.解

a

时，令

x

f

t

lnt,t

t

e

易知

所以当

t

单调递增又

x

,所以当

x

时

,

单调递增,当

x

时

,t

单调递减分令

x

(t

,f

lnt

,当a0

时易

当

时

g

时

g

时

而

11

tt2高中数学月/段考试题tt2所以存在

t0

0

t

tlnalnt00

0当t∈

0

时

,g

单调递减当t∈

0

所以

0

t

lntat2