2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习高效演练分层突破第九章第7讲双曲线Word版解析版

[基础题组练]1．(2019高·考北京卷)已知双曲线x25，则a＝()a2－y2＝1(a＞0)的离心率是A.6B．41C．2D.2分析：选D.由双曲线方程x2－y2＝1，a2得b2＝1，因此c2＝a2＋1.22＋112.因此5＝e2＝c2＝a2＝1＋aaa联合a>0，解得a＝1.2应选D.x2y2x2y2C2的2．若双曲线C1：－＝1与C2：2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线同样，且双曲线28a焦距为45，则b＝()A．2B．4C．6D．8分析：选B.由题意得，b＝2?b＝2a，C2的焦距2c＝45?c＝a2＋b2＝25?b＝4，a应选B.3．设双曲线x2－y2＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，8则△PF1F2的面积等于()A．103B．83C．85D．165分析：选C.依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，由于|PF1|∶|PF2|＝3∶4，因此|PF1|＝6，182|PF2|＝8，因此等腰三角形PF1F2的面积S＝2×8×62－2＝85.4．(2020长·春市质量监测(一))已知双曲线x222－y2＝1(a>0，b>0)的两个极点分别为A，B，ab点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±3xD．y＝±2x分析：选C.设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝y·y＝x－ax＋a

y2y2b2x2－a2＝a2y2＝a2＝3，因此其b2渐近线方程为y＝±3x，应选C.5．(2019高·考天津卷)已知抛物线2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2－y2＝ab1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D．5分析：选D.由题意知F(1，0)，l：x＝－1，双曲线的渐近线方程为by＝±x，则|AB|＝4|OF|a＝4，而|AB|＝2×b，因此b＝2，因此e＝c＝2222a＋b＝a＋4a＝5，应选D.aaaaa26．(2019高·考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－y2＝1(b>0)经过点(3，4)，b则该双曲线的渐近线方程是．2分析：由于双曲线x2－y2＝1(b>0)经过点(3，4)，因此9－162＝1(b>0)，解得b＝2，即bb2双曲线方程为x2－y＝1，其渐近线方程为y＝±2x.2答案：y＝±2x7．(2020陕·西渭南期末改编)已知方程x2＋y2＝1，若该方程表示双曲线，则k的取4－kk－2值范围是，若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是．分析：方程x2＋y2＝1表示双曲线，若焦点在x轴上，则4－k>0，k－2<0，解得k<2；4－kk－2若焦点在y轴上，则4－k<0，k－2>0，解得k>4，则k的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则4－k>k－2>0，即2<k<3，则k的取值范围为(2，3)．答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)(2，3)x2y28．(2020云·南昆明诊断测试改编)已知点P(1，3)在双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线上，F为双曲线C的右焦点，O为原点．若∠FPO＝90°，则双曲线C的方程为，其离心率为．分析：由于双曲线x2y2bC：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，点P(1，3)在渐aba近线上，因此b＝3.在Rt△OPF中，|OP|＝（3）2＋1＝2，∠FOP＝60°，因此|OF|＝cax2y2c＝4.又c2＝a2＋b2，因此b＝23，a＝2，因此双曲线C的方程为4－12＝1，离心率e＝a＝2.答案：x2y2－＝12412x2y29．已知椭圆D：50＋25＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有同样的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，因此双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为x2y2－＝1(a>0，b>0)，a2b2因此渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为3.因此|5a|＝3，得a＝3，b＝4，b2＋a222因此双曲线G的方程为x－y＝1.91610．已知双曲线的中心在原点，焦点F，F在座标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．12(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．解：(1)由于离心率e＝2，因此双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，因此双曲线的方程为x2－y2＝6.(2)证明：由于点M(3，m)在双曲线上，因此32－m2＝6，因此m2＝3，又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－23，0)，F2(23，0)，→→因此MF1·MF2＝(－23－3，－m)·(23－3，－m)＝(－3)2－(23)2＋m2＝9－12＋3＝0，因此MF1⊥MF2，因此点M在以F1F2为直径的圆上．[综合题组练]2－y21．(2020河·南鹤壁高中12是双曲线x＝1(a>0，b>0)的左、右ba焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是()A.3x±y＝0B．2x±7y＝0C.3x±2y＝0D．2x±3y＝0分析：选C.由于F1、F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，因此由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，因此|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，222222由余弦定理可得cos60°＝|PF1|＋|PF2|－|F1F2|，即1＝（3a）＋a－4c，因此3a2＝10a22|PF1222×3a×a|·|PF|23，因此双曲线C的渐近线方程为y＝±3x，－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，因此b2＝a42即3x±2y＝0，应选C.222．(2019高·考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2－y2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，abF2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于→→→→A，B两点，若F1A＝AB，F1B·F2B＝0，则C的离心率为．→→分析：法一：由于F1B·F2B＝0，因此F1B⊥F2B，如图．→→因此|OF1|＝|OB|，因此∠BF1O＝∠F1BO，因此∠BOF2＝2∠BF1O.由于F1A＝AB，因此点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，因此OA∥BF2，因此F1B⊥OA，由于直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线1a，tan∠BOF2b2＝，因此tan∠BFO＝b＝a.由于tan∠BOFab2×b，因此b2＝3a2，因此c2－a2＝3a2，即2a＝c，因此双曲线的tan(2∠BF1O)，因此a＝a21－b离心率e＝c＝2.a→→法二：由于F1B·F2B＝0，因此F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，因此∠OBF2→→，因此A为F1B的中点，因此OA∥F2B，因此∠F1OA＝∠OF2B.又＝∠OF2B，又F1A＝AB∠F1OA＝∠BOF2，因此△OBF2为等边三角形．由F2(c，0)可得Bc，3c，由于点B在直22线y＝b3bc，因此b＝3，因此e＝1＋b2x上，因此＝2.a2aaa2答案：2223．已知双曲线C：x2－y2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个极点．ab(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不一样的两点A，B，求|AB|.22解：(1)由于双曲线C：x－y＝1(a>0，b>0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个a2b2极点，c＝3，因此a解得c＝3，b＝6，a＝3，x2y2因此双曲线的方程为－＝1.22(2)双曲线x－y＝1的右焦点为F2(3，0)，36因此经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝33(x－3)．x2－y2＝1，36得5x2＋6x－27＝0.联立3y＝3（x－3），设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－6，x1x2＝－27.55因此|AB|＝1＋1×－62－4×－27＝163.35554．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为43.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋22与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围．22解：(1)设双曲线C的方程为x2－y2＝1(a>0，b>0)．ab由已知得，a＝23，c＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝4，因此双曲线C的方程为x2