概率论与数理统计-第七章-参数估计-第二节-点估计

参数估计第二节参数的点估计一、引例随机抽查100个婴儿,得100个体重数据10,7,6,6.5,5,5.2,

…呢?据此,我们应如何估计和而全部信息就由这100个数组成.例如

已知某地区新生婴儿的体重

,未知一、引例

为估计:我们需要构造出适当的样本的函数U(X1,X2,…Xn)，每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为的估计值.U(X1,X2,…Xn)称为参数的点估计量，把样本值代入U(X1,X2,…Xn)中，估计值.得到的一个点一、引例由大数定律,自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计.样本体重的平均值我们知道,若,则.用样本体重的均值估计.类似地，用样本体重的方差估计.一、引例可以用样本均值;也可以用样本中位数;还可以用别的统计量.使用什么样的统计量去估计？问题是:1.顺序统计量估计法2.矩估计法3.极大似然估计4.最小二乘法……这里我们主要介绍前面三种方法.点估计常用方法：二、顺序统计量法1、用中位数估计均值二、顺序统计量法二、顺序统计量法二、顺序统计量法2、用极差估计标准差二、顺序统计量法二、顺序统计量法二、顺序统计量法二、顺序统计量法二、顺序统计量法三、矩估计法矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出来的.由辛钦大数定理,若总体的数学期望有限,则有其中为连续函数.三、矩估计法

这表明,当样本容量很大时

,在统计上,可以用用样本矩去估计总体矩.这一事实导出矩估计法.定义用样本原点矩估计相应的总体原点矩,又用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数,这种参数点估计法称为矩估计法

.

理论依据:

大数定律矩估计法的具体做法如下：那么它的前k阶矩,一般都是这k个参数设总体的分布函数中含有k个未知参数,那么用诸的估计量Ai分别代替上式中的诸,即可得诸的矩估计量：三、矩估计法i=1,2,…,k从这k个方程中解出j=1,2,…,kj=1,2,…,k矩估计量的观察值称为矩估计值.的函数,记为：三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法

矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.

缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.

练习1

设总体X在[a,b]上服从均匀分布,a,b未知.是来自X

的样本,试求a,b

的矩估计量.解

三、矩估计法即解得于是a,b的矩估计量为样本矩总体矩三、矩估计法解

练习2

设总体X的均值和方差都存在,未知.是来自X

的样本,试求的矩估计量.三、矩估计法解得于是的矩估计量为样本矩总体矩三、矩估计法解:

由矩法,样本矩总体矩从中解得的矩估计.即为数学期望是一阶原点矩

练习3

设总体X的概率密度为是未知参数,其中X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参的矩估计.三、矩估计法四、极大似然估计它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而,这个方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.四、极大似然估计极大似然估计法的思想

极大似然估计法，是建立在最大似然原理的基础上的求点估计量的方法。最大似然原理的直观想法是：在试验中概率最大的事件最有可能出现。因此，一个试验如有若干个可能的结果A,B,C,…,若在一次试验中，结果A出现，则一般认为A出现的概率最大。四、极大似然估计极大似然估计定义：当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度(连续型）或联合分布律(离散型)为

f(x1,x2,…,xn;)这里x1,x2,…,xn

是样本的观察值.四、极大似然估计似然函数：f(x1,x2,…,xn;)极大似然估计法就是用使达到最大值的去估计.即称为的极大似然估计值.而相应的统计量称为的极大似然估计量.看作参数的函数，它可作为将以多大可能产生样本值x1,x2,…,xn

的一种度量.四、极大似然估计求最大似然估计量的一般步骤为：

（1）求似然函数（2）一般地，求出及似然方程

（3）解似然方程得到最大似然估计值

（4）最后得到最大似然估计量

四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计解似然函数练习四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计解似然函数为对数似然函数为练习

设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本求的最大似然估计值.其中

>0,四、极大似然估计求导并令其为0=0从中解得即为的最大似然估计值

.对数似然函数为四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计四、极大似然估计五、评价估计量的标准这就需要讨论以下问题:问题的提出从前面可以看到,对于同一个参数,用不同的估计方法求出的估计量可能不相同,而且,很明显,原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么?五、评价估计量的标准常用的几条标准是：1．无偏性2．有效性3．一致性这里我们重点介绍前面两个标准.五、评价估计量的标准1、无偏性五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准证推广五、评价估计量的标准特别的:不论总体X服从什么分布,只要它的数学期望存在,五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准五、评价估计量的标准所