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文档简介

分布函数及其密度无疑是描述随机变量概率规律的最有力工具，尤其是它具有明确的概率含义，故运用分布函数可方便地解决许多与随机变量有关的概率问题.

但是，在今后的某些问题中，分布函数又表现出某些不足.例如：

（1）分布函数本身的分析性质不太好，它只是一个单边连续的有界非降函数.

（2）独立随机变量和的分布函数等于各分布函数的卷积，这在计算上带来不少麻烦.

数字特征也只反映了概率分布的某些侧面.下面介绍的特征函数，既能完全决定分布函数，又具有良好的分析性质.第四章特征函数与母函数§4.1一维特征函数的定义及其性质特征函数是处理许多概率论问题的有力工具.它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算转换成乘法运算.它能把求分布的各阶原点矩(积分运算)转换成微分运算.它能把寻求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题.它能完全决定分布函数.它具有良好的分析性质．

为了定义特征函数，我们需要拓广一下随机变量的概念，引进复随机变量.定义如果与都是概率空间上的实值随机变量，则称为复随机变量.

对复随机变量的研究本质上是对实二维随机变量的研究.

如果二维随机变量与相互独立，则称复随机变量与相互独立.

定义复随机变量的数学期望为

对于复随机变量，可平行地定义或得到一系列结果.例如:(2)若是相互独立的，则又如，若是一个博雷尔可测函数，而则这里常用欧拉公式

以后，随时引用这类结果而不再加以说明.定义若实随机变量的分布函数为，则称

为的特征函数

显然特征函数只与分布函数有关，因此又称某一分布函数的特征函数.(characteristicfunction).离散情形与连续情形下的特征函数设连续型r.v.的密度函数为

(x),则其特征函数为同时我们注意到，连续型随机变量的特征函数

(t)是密度函数(x)的傅立叶变换.

一般情况下的特征函数可以看作是这种傅立叶变换的推广.傅立叶变换是数学中一种非常有用的工具，它在许多数学分支中都起了重大作用.常见分布的特征函数【退化分布】【二项分布】【0-1分布】【泊松分布】【均匀分布】【标准正态分布】即【指数分布】特征函数的性质性质1证明性质2证明【正态分布】证明性质3

特征函数在(-,)上一致连续.性质4证明此性质为特征函数的非负定性.波赫纳-辛钦定理若函数连续,非负定且,则必为特征函数.

性质5令t=0即可证明此性质.关于广义积分的求导，这是因为证明应用可以利用特征函数得到随机变量的各阶矩由上述性质可知，特征函数(t)的泰勒展开式为：例反演

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