概率论数理统计初步

计量地理学基础聊城大学环境与规划学院2011-9张金萍第四章概率论与数理统计初步随机事件及概率随机变量及其概率分布显著性检验第四章概率论数理统计初步§1随机事件及概率必然事件：在一定条件下，必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下，绝不会发生的事件；随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；用A、B、C等表示事件频数：在n次相同的观测中，某一事件A出现的次数m；频率：频数与总观测次数之比概率：当观测次数n逐渐增加时，事件A的频率将稳定的接近于某一固定常数p，即称p为事件A的概率。概率的范围：[0，1]第四章概率论数理统计初步§2随机变量及其概率分布概念：随机变量：ξ在一定的条件下，受随机因素的影响而在实验的结果中能取不同数值的量，称为~。随机变量的概率分布随机变量可能取值的范围和取这些值的相应概率，称为~。随机变量的类型：离散型随机变量连续型随机变量第四章概率论数理统计初步§2随机变量及其概率分布离散型随机变量的概率分布设随机变量ξ所可能取的值是xk(k=1,2,…),而pk是ξ取xk时的概率，则称pk为ξ的概率分布。式中xk为有限个或可列个。上式为概率分布的表示形式，叫做“分布列”。第四章概率论数理统计初步离散型随机变量的概率分布例1：二点分布随机变量ξ以概率p取值x1，以概率q取值x2，(p+q=1),其分布列为：或记为：§2随机变量及其概率分布第四章概率论数理统计初步离散型随机变量的概率分布例2：有限点分布随机变量ξ可能取值是x1，x2，…，xn；对应概率是p1，p2，…，pn；其分布列为：或记为：§2随机变量及其概率分布第四章概率论数理统计初步离散型随机变量的概率分布特别重要的离散型概率分布：二项分布设离散随机变量ξ取值0,1,2,…,n,而且其中0<p<1，p+q=1。称ξ服从“二项分布”。记作：ξ～B(n,p)§2随机变量及其概率分布当n不大时，二项分布有专门的表可查。第四章概率论数理统计初步离散型随机变量的概率分布特别重要的离散型概率分布：二项分布地理上服从二项分布的例子很多。总之，在相同条件下重复进行n次相互独立的观测试验，每次试验只有两种可能的结果，通常称之为“成功”或者“失败”，记为和，并且，已知，，那么，在n次试验中，事件A出现的次数ξ是一个随机变量，这个随机变量就服从二项分布。§2随机变量及其概率分布第四章概率论数理统计初步离散型随机变量的概率分布特别重要的离散型概率分布：泊松分布设离散随机变量ξ取值0,1,2,…,而且其中λ>0为一常数。称ξ服从“泊松分布”，并有专门的表可查。泊松分布是当p→0，n→∞，np→λ时二项分布的极限分布。当n≥50，np<5时，§2随机变量及其概率分布第四章概率论数理统计初步§2随机变量及其概率分布连续型随机变量的概率密度及分布函数设随机变量ξ小于任何实数的概率可写成如下积分形式则说ξ是连续型的随机变量。F(x)叫做ξ的分布函数，而p(x)叫做ξ的分布密度或密度函数。上式所表示的概率分布叫做连续型的分布。第四章概率论数理统计初步连续型随机变量的概率密度

及分布函数分布密度p(x)的性质.对一切x,有p(x)≥0.§2随机变量及其概率分布分布函数F(x)的性质.对于任意的a<b,有p(a≤ξ＜b)=F(b)-F(a).当x1＜x2时，有F(x1)＜F(x2).第四章概率论数理统计初步连续型随机变量的概率密度

及分布函数分布函数F(x)分布密度p(x)的关系§2随机变量及其概率分布连续型随机变量中最常见的是服从正态分布的变量。第四章概率论数理统计初步连续型随机变量的概率密度

及分布函数正态分布若随机变量ξ的分布函数可以写成如下形式§2随机变量及其概率分布则ξ叫做正态分布的随机变量。式中m,σ是两个参数，σ>0上式所表示的分布函数叫做以m,σ为参数的正态分布。第四章概率论数理统计初步连续型随机变量的概率密度

及分布函数正态分布正态分布的密度函数为：§2随机变量及其概率分布

m是随机变量总体的均值，又叫数学期望。

σ为总体的均方差。具有参数m,σ的正态分布记为N（m，σ2）。

m=0，σ=1的正态分布叫做标准正态分布，记为N（0，1）。第四章概率论数理统计初步连续型随机变量的概率密度

及分布函数正态分布正态分布N（m，σ2）的密度函数p(x)的图形为：§2随机变量及其概率分布①p(x)是一条左右对称的曲线，对称轴是x=m。②p(x)永远取正值，在x=m处达到极大值。③p(x)在(-∞,m)是增函数，在(m,+∞)是减函数，是一条“单峰”曲线。mxP(x)m+σm-σ第四章概率论数理统计初步连续型随机变量的概率密度

及分布函数正态分布§2随机变量及其概率分布④p(x)的拐点：m+σ，m-σ，曲线在x<m-σ和x>m+σ是向下凹的，而在m-σ<x<m+σ是向上凸的。⑤

p(x)当x→±∞时都以横轴为渐近线。mxP(x)m+σm-σ第四章概率论数理统计初步连续型随机变量的概率密度

及分布函数正态分布§2随机变量及其概率分布σ=1.5xP(x)σ=3σ=1⑥

参数m和σ的几何意义:σ越大，曲线的最高点越低，曲线越平缓；σ越小，曲线的最高点越高，曲线越陡峭。第四章概率论数理统计初步正态分布变量的概率求法标准正态分布：直接查表非标准正态分布求落在任意区间(a,b)上的概率：用样本的平均值和标准差来估计m和σ；对资料进行标准化处理，得到标准化正态变量u；根据u值查表。§2随机变量及其概率分布第四章概率论数理统计初步当x为正态分布N(m,σ2)时，求p(m-σ<x<m+σ)的值。解：§2随机变量及其概率分布练一练依此类推，求p(m-2σ<x<m+2σ)、p(m-3σ<x<m+3σ)的值。第四章概率论数理统计初步当随机变量x服从正态分布时：落在区间(m-σ，m+σ)上的概率是68.3%。落在区间(m-2σ，m+2σ)上的概率是95.45%。落在区间(m-3σ，m+3σ)上的概率是99.73%。3σ原则对正态分布的随机变量来说，几乎可以认为它的取值范围总是落在区间(m-3σ,m+3σ)之内，而落在此区间之外几乎是不可能的，这就是所谓3σ原则。§2随机变量及其概率分布练一练第四章概率论数理统计初步§2随机变量及其概率分布对数正态分布取对数后服从正态分布Г分布特例1：χ2分布特例2：指数分布连续型随机变量的概率密度

及分布函数第四章概率论数理统计初步§3显著性检验1.显著性检验及其意义统计假设检验在计量地理学中，有许多问题都需要进行检验。例如，在地理定量化过程中，发现了一条地理规律，为了验证它是否符合客观规律，是否可靠，或求其精确度等，都需要有一种方法作为依据来进行检验。解决这一类问题的方法，叫做~。从步骤上一开始是要对被检验的问题先作一“假设”H0

。第四章概率论数理统计初步§3显著性检验1.显著性检验及其意义统计检验：通常，将验证或判定给定的假设H0的方法，称为~。参数检验：判别参数假设的方法。显著性检验：如果统计检验的目的仅仅是判别这个给定的假设H0是否成立，并不同时研究其他假设，便称这种检验为显著性检验。第四章概率论数理统计初步§3显著性检验1.显著性检验及其意义临界概率（显著性水平、信度）α：拒绝或接受假设的标准。0.1%、1%、5%、10%等。在数值上等于1-置信水平。置信水平某一结论属“真”的概率，常以百分数表示。(100-95)%=5%，95%为置信水平，5%为显著性水平。第四章概率论数理统计初步§3显著性检验1.显著性检验及其意义在作假设检验时可能有两类错误：第一类错误：假设正确而否定了它；第二类错误：假设错误却接受了它。如果假设正确，而它落在拒绝域，则将发生第一类错误。第一类错误发生的概率为α。xα/2α/21-α接受域拒绝域拒绝域第四章概率论数理统计初步§3显著性检验1.显著性检验及其意义统计假设检验的一般步骤根据实际地理问题的需要，提出一个待检验的假设，记为H0；找出检验H0的适当的统计量，使得在假设H0成立时，其分布已知；给定适当的信度α，由信度α和统计量的分布查表定出临界值。根据样本的实测数据计算出统计量的值，并与临界值比较，从而对原假设H0拒绝与否作出判断。第四章概率论数理统计初步§3显著性检验2.常用的几种检验方法