山西省吕梁市汾阳第五高级中学2023年高三数学文月考试卷含解析

山西省吕梁市汾阳第五高级中学2023年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在极坐标系中，已知点，则过点且平行于极轴的直线的方程是（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：A先将极坐标化成直角坐标表示，

转化为点，即，过点且平行于轴的直线为，在化为极坐标为，选A.2.已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|＝A．1

B． C．

D．2参考答案：A考点：数量积的应用|a＋b|＝

故答案为：A3.已知平面向量共线，则= A． B． C． D．5参考答案：A略4.的展开式的常数项为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D展开式的常数项为5.已知函数的最大值是４，最小值是０，最小正周期是，直线

是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B6.已知集合则有 （

） A． B． C． D．参考答案：B7.若函数f（x）=ax2﹣lnx在（0，1]上存在唯一零点，则实数a的取值范围是（） A．[0，2e] B． [0，] C． C、（﹣∞，﹣1] D． （﹣∞，0]参考答案：略8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则A．f(－25)＜f(11)＜f(80)

B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)

D．f(－25)＜f(80)＜f(11)参考答案：D9.任取x∈[，]，则使sinx+cosx∈[1,]的概率是A.

B.

C.

D.参考答案：B因为，所以，所以所以.故选B10.若x,y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1,0）处取得最小值，则的a取值范围是A.

B.(-4,2)

C.

D.(-4,1)

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的单调递减区间是_________。参考答案：略12.如图，点的坐标为，函数过点，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于__________.参考答案：试题分析：由得，，曲边梯形的面积为，所以所求概率为．考点：几何概型．【名师点睛】几何概型的常见类型的判断方法1．与长度、角度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；2．与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；3．与体积有关的几何概型．13.设是两个集合，定义集合，若，，则

。参考答案：答案：14.在直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是

．参考答案：15.若向量=（x﹣1，2），=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为．参考答案：6略16.若一个棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球的球面上，则此球的表面积为．参考答案：12π【考点】球的体积和表面积．【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的表面积即可．【解答】解：设正方体的棱长为：2，正方体的体对角线的长为：2，就是球的直径，∴球的表面积为：S2=4π（）2=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的体积表面积，正方体的外接球的知识，仔细分析，找出二者之间的关系：正方体的对角线就是球的直径，是解题关键，本题考查转化思想，是中档题．17.若实数满足，则的最小值为________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆。（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽是多少？（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程

量最小，则应如何设计拱高h和拱宽？（已知：椭圆+=1的面积公式为S=，柱体体积为底面积乘以高。）（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍，试确定M、N的位置以及的值，使总造价最少。

参考答案：解：（1）如下图建立直角坐标系，则点P（10，2），椭圆方程为+=1，将b=h－3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=，l=2a=，隧道的拱宽约为m。5分

（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭圆的面积最小即可。由椭圆方程+=1，得+=1。因为+≥，即ab≥40，…8分所以半椭圆面积S=≥。当S取最小值时，有==，得a=10，b=，此时l=2a=20，

h=b+3=+3，故当拱高为(+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小

13分（3）设，设=+·=2（10），则令得或17（舍）∴时，取最小值，此时,代入椭圆方程得

∴…

13分略19.在边长为2的等边三角形中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围为

参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案解析】解析：由题意可得和的夹角为60°，设||=x，x∈[0，2]，

∵=（-）?（-）=?-?-?+2=2×1-2xcos60°-xcos60°+x2=x2-x+2=(x?)2+，

故当x=时，取得最小值为，当x=2时，取得最大值为3，

故答案为[，3]。【思路点拨】由题意可得和的夹角为60°，设||=x，x∈[0，2]，根据的向量的之间的关系得到的表达式，借助于二次函数求出最值，即得它的取值范围．20.已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．参考答案：所以，所以，因此，即的取值范围为．21.（本小题满分12分）山东省某示范性高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：

信息技术生物化学物理数学周一周三周五（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随即变量的分布列和数学期望.参考答案：解：（1）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则

--------3分（2）可能取值为0，1，2，3，4，5

-----------9分所以，随即变量的分布列如下012345P=-----------12分略22.已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦，直线与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B.（1）证明：点B恒在椭圆C上.（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.参考答案：（1）见解析（2）存在，【分析】（1）根据题意求得的坐标，设出的坐标，求得直线的方程，由此求得的坐标，代入椭圆方程的左边，化简后得到，由此判断出恒在椭圆上.（2）首先判断直线的斜率是否存在.然后当直线斜率存在时，设出直线的方程，判断出的位置并设出的坐标.联立直线的方程和椭圆方程，化简后利用判别式等于零求得的关系式，进而求得的坐标，结合点坐标以及，利用列方程，结合等式恒成立求得的坐标.【详解】（1）证明：由题意知，设，则.直线的方程为，直线的方程为，联立可得，，即的坐标为.因为，所以点恒在椭圆上.（2）解：当直线的斜率不存在时，不符合题意.不妨设