山西省大同市乡中学2021年高二数学理期末试卷含解析

山西省大同市乡中学2021年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点A(a,b)满足方程x-y-3＝0，则由点A向圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0所作的切线长的最小值是

A．2

B．3

C．4

D．参考答案：C略2.已知命题：，，则（

）(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：C3.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1 B． C．2 D．3参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d．【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3=6，S3=12，得：解得：a1=2，d=2．故选C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是基础的会考题型．4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，则b=（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B5.由曲线,直线及y轴所围成的图形的面积为

（）A. B.4 C. D.6参考答案：A【分析】确定出曲线y，直线y＝x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系求解即可．【详解】联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S．故选:A．【点睛】本题考曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．6.箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为(

)

A.

B.()3×

C.×

D.×()3×参考答案：B略7.已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：①

②③

④其中正确命题的序号是

（

）A．①③

B．②④

C．①④

D．②③参考答案：C8.已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为（）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知数列{an}：，+，++，…，+++…+，…，若bn=，那么数列{bn}的前n项和Sn为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】数列的求和．【分析】先确定数列{an}的通项，再确定数列{bn}的通项，利用裂项法可求数列的和．【解答】解：由题意，数列{an}的通项为an==，∴bn==4（﹣）∴Sn=4（1﹣+﹣+…+﹣）=4（1﹣）=故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点P是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且=0，若PF2的中点N在第一象限，且N在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率是．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得n﹣m=2a，再由向量垂直的条件，结合勾股定理和直角三角形的正切函数定义，可得m，n的方程，解方程可得m，n，再代入勾股定理，可得a，b，c的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得n﹣m=2a，①设F1（﹣c，0），F2（c，0），由=0，可得三角形F1PF2是以P为直角顶点的三角形，即有m2+n2=4c2，②直线ON的方程为y=x，由题意可得在直角三角形ONF2中，|ON|=m，|NF2|=n，即有=，③由①③可得m=，n=，代入②可得+=4c2，由c2=a2+b2，可化为a2=（b﹣a）2，可得b=2a，c==a，则e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义和性质的运用，注意运用中位线定理和勾股定理，以及定义法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.曲线在处的切线方程是__________.参考答案：13.不等式：

。参考答案：略14.已知直线平面，直线平面，则直线的位置关系是_参考答案：15.命题：“?x∈N，x3＞x2”的否定是、参考答案：?x∈N，x3≤x2【考点】命题的否定．【分析】用一个命题的否定的定义来解决．【解答】解：由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论．故答案是?x∈N，x3≤x2【点评】本题考查一个命题的否定的定义．16.已知双曲线右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的离心率等于

参考答案：17.已知，为第四象限角，则

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a＞0）在x=1处有极值10．（1）求a、b的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）求f（x）在[0，4]上的最大值与最小值．参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题．【分析】（1）求出导函数，令导函数在1处的值为0；f（x）在1处的值为10，列出方程组求出a，b的值．（2）令导函数大于0求出f（x）的单调递增区间；令导函数小于0求出f（x）的单调递减区间．（3）利用（2）得到f（x）在[0，4]上的单调性，求出f（x）在[0，4]上的最值．【解答】解：（1）由f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a2=10，得a=4，或a=﹣3∵a＞0，∴a=4，b=﹣11（经检验符合）（2）f（x）=x3+4x2﹣11x+16，f'（x）=3x2+8x﹣11，由f′（x）=0得所以令f′（x）＞0得；令所以f（x）在上单调递增，上单调递减．（3）由（2）知：f（x）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增，又因为f（0）=16，f（1）=10，f（4）=100，所以f（x）的最大值为100，最小值为1020．【点评】本题考查导数在极值点处的值为0；导函数大于0对应函数的得到递增区间，导函数小于0对应函数的递减区间．19.已知点A(2，a)，圆C：(x－1)2＋y2＝5。(I)若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；(II)设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值。参考答案：20.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据如下表（单位：人）（1）求x、y；（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人来自高校C的概率。参考答案：解：由题意可得，所以

（2）记从高校B抽取的2人为、，从高校C抽取的3人为、、，则从高校B、C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）共10种。设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有（，）（，）（，）共3种。因此故选中的2人都来自高校C的概率为略21.设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且AP：PQ=8：5．（1）求椭圆的离心率；（2）已知直线l过点M（﹣3，0），倾斜角为，圆C过A，Q，F三点，若直线l恰好与圆C相切，求椭圆方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质；直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）设出P，Q，F坐标，利用以及AP：PQ=8：5，求出P的坐标代入椭圆方程，即可求椭圆的离心率；（2）利用直线l过点M（﹣3，0），倾斜角为，求出直线的方程，通过圆C过A，Q，F三点，直线l恰好与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，求出a，b，c的值，即可求得椭圆方程．【解答】解：（1）设点Q（x0，0），F（﹣c，0），P（x，y），其中，A（0，b）．由AP：PQ=8：5，得，即，得，…（2分）点P在椭圆上，∴．①…（4分）而，∴．∴．②…（6分）由①②知2b2=3ac，∴2c2+3ac﹣2a2=0．∴2e2+3e﹣2=0，∴．…（8分）（2）由题意，得直线l的方程，即，满足条件的圆心为，又a=2c，∴，∴O′（c，0）．…（10分）圆半径．

…（12分）由圆与直线l：相切得，，…（14分）又a=2c，∴．∴椭圆方程为．…（16分）【点评】本题是中档题，考查题意的离心率的求法，直线与圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力，转化思想，常考题型．22.已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=t（Sn﹣an+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=an2+Snan，若数列{bn}为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设cn=4an+1，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】8K：数列与不等式的综合；8G：等比数列的性质；8H：数列递推式．【分析】（1）当n=1时，S1=t（S1﹣a1+1），得a1=t．当n≥2时，由（1﹣t）Sn=﹣tan+t，得，（1﹣t）Sn﹣1=﹣tan﹣1+t．故an=tan﹣1，由此能求出{an}的通项公式．（2）由，得数列{bn}为等比数列，，由此能求出t的值．（3）由t=，得，所以，由不等式恒成立，得恒成立，由此能求出实数k的取值范围．【解答】解：（1）当n=1时，S1=t（S1﹣a1+1），得a1=t．当n≥2时，由Sn=t（Sn﹣an+1），即（1﹣t）Sn=﹣tan+t，①得，（1﹣t）S