山西省大同市上深涧中学2023年高二数学理期末试题含解析

山西省大同市上深涧中学2023年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.当时，下面的程序段输出的结果是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D2.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是A.若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;C.若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误;D.以上三种说法都不正确.参考答案：C略3.如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为57，100，则图形Ω面积的估计值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．【解答】解：由题意知撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为57，100，∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积=57：100，∴不规则图形Ω的面积=×正方形的面积=a2．故选C．4.在中，已知，，，则的面积等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B5.

参考答案：C略6.等差数列中，，则（

）A.12

B.24

C.36

D.48参考答案：B略7.抛物线y＝ax2（a≠0）的焦点坐标是（

）A．（0，）

B．（0，－）

C．（0，）

D．（0，）参考答案：A略8.已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B，为抛物线上两点，若=3，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A． B． C． D．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，即可求出△AOB的面积．【解答】解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，直线AB的方程为y=（x﹣1），联立直线AB与抛物线的方程可得A（3，2），B（，﹣），所以|AB|==，而原点到直线AB的距离为d=，所以S△AOB=，当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．故选B．9.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,假设正确的是()(A)假设三个内角都不大于60度

(B)假设三个内角都大于60度(C)假设三个内角至多有一个大于60度

(D)假设三个内角有两个大于60度参考答案：B10.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（

）

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若其中为虚数单位，则____________．参考答案：3略12.下列命题：①设a，b是非零实数，若a＜b，则ab2＜a2b；②若a＜b＜0，则；③函数y=的最小值是2；④若x、y是正数，且+=1，则xy有最小值16；⑤已知两个正实数x，y满足+=1，则x+y的最小值是．其中正确命题的序号是．参考答案：②④【考点】不等式的基本性质；基本不等式．【专题】应用题；转化思想；定义法；不等式．【分析】①的结论不成立，举出反例即可；②由同号不等式取倒数法则，知②成立；③④⑤分别利用基本不等式即可判断．【解答】解：①设a，b是非零实数，若a＜b，则ab2＜a2b，此结论不成立，反例：令a=﹣10，b=﹣1，则ab2=﹣10＞a2b=﹣100，故①不成立；②若a＜b＜0，由同号不等式取倒数法则，知＞，故②成立；③函数y==+≥2的前提条件是=1，∵≥2，∴函数y的最小值不是2，故③不正确；④∵x、y是正数，且+=1，∴1=+≥2，∴≤∴xy≥16，故④正确，⑤两个正实数x，y满足+=1，∴=1﹣=，即y=＞0，∴x＞2，∴y+x=x+=x﹣2++2=x﹣2++3≥2+3，当且仅当x=2+，y=+1时取等号，故⑤不正确，故答案为：②④．【点评】本题考查命题的真假判断，解题时要注意同号不等式取倒数法则、均值不等式成立的条件等知识点的灵活运用．13.参考答案：14.过点且与直线平行的直线方程为

．参考答案：15.在的展开式中的系数是______．（用具体数作答）参考答案：180.因为二项式，展开式的通项公式为，而对于的展开式，其中，都为自然数，令，解得或，所以展开式的系数为。16.若,且,则的最小值为__

__。

参考答案：17.函数存在单调递减区间，则a的取值范围是

参考答案：(-1，0)

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.求函数的最小值。参考答案：解析：可看作点到点和点的距离之和，作点关于轴对称的点19.已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交抛物线C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有.当点A的横坐标为3时，（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线，且和抛物线C有且只有一个公共点E，试问直线AE（A为抛物线C上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）由题意知，由抛物线的定义知：，解得，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）由（1）知，设，，因为，则，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，故可设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意知，得.设，则，，当时，，可得直线的方程为，由，整理可得，所以直线恒过点，当时，直线的方程为，过点，所以直线恒过定点.20.已知直线是椭圆的右准线，若椭圆的离心率为，右准线方程为x=2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知一直线AB过右焦点F（c，0），交椭圆Γ于A，B两点，P为椭圆Γ的左顶点，PA，PB与右准线交于点M（xM，yM），N（xN，yN），问yM?yN是否为定值，若是，求出该定值，否则说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：e==，=2，即可求得a和b的值，求得椭圆Γ的方程；（2）设AB的方程：x=my+1，代入椭圆方程由韦达定理求得直线PA的方程，代入即可求得yM=（2+），yN=（2+），yM?yN==，代入即可求得yM?yN=﹣1．【解答】解：（1）依题意：椭圆的离心率e==，=2，则a=，b=1，c=1，故椭圆Γ方程为；

…（2）设AB的方程：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，△=（﹣2m）2+4（m2+2）＞0，由韦达定理得：y1+y2=﹣，y1?y2=﹣，…直线PA：y=（x+），令x=2，得yM=（2+），同理：yN=（2+），…∴yM?yN==，=，=，=，===﹣1，yM?yN=﹣1，yM?yN是定值，定值为﹣1．…21.（本小题满分20分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，－b）和B（a，0）的直线与原点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（－2，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D两点，证明：对任意的t＞0，都存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点.参考答案：解析：（I）直线的方程为，依题意得

解得，所以，椭圆方程为．……………（5分）（Ⅱ）将代入椭圆方程，得，

由直线与椭圆有两个交点，，，……（1）…………（10分）设，则，，……（2）以为直径的圆过点，，即，而，，将（2）代入，，解得，…………（15分），，即满足（1），所以，对任意的，都存在，使得以线段为直径的圆过点．……（