山西省吕梁市方山县第四中学2023年高二数学理上学期期末试题含解析

山西省吕梁市方山县第四中学2023年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于实数a和b，定义运算“*”：设，且关于x的方程为恰有三个互不相等的实数根x1、x2、x3，则x1·x2·x3的取值范围是A．(,0)

B．(,0)

C．(0,)

D．(0,)参考答案：A2.设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）参考答案：B【考点】其他不等式的解法．【分析】分x0≥1和x0＜1两种情况考虑，分别将相应的函数解析式代入不等式中求出相应的解集，找出两解集的并集即为所求x0的取值范围．【解答】解：当x0≥1时，f（x0）=2x0+1，代入不等式得：2x0+1＞1，解得：x0＞0，此时x0的范围为x0≥1；当x0＜1时，f（x0）=x02﹣2x0﹣2，代入不等式得：x02﹣2x0﹣2＞1，解得：x0＞3或x0＜﹣1，此时x0的范围为x0＜﹣1，综上，x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）．故选B3.已知函数在处的切线与直线垂直，则（

）A．2

B．0

C．1

D．－1参考答案：C由题可知：函数在处的切线的斜率为，直线的斜率为-1，故=-1得1，故选C.

4.已知平面α∥平面β，它们之间的距离为，直线，则在β内与直线相距为的直线有

(

)A．1条

B．2条

C．无数条

D．不存在参考答案：B略5.1800的正约数有（

）个.A.18

B.36

C.9

D.27

参考答案：B略6.

若且，则的最小值是：(

)A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：7.函数f（x）在实数集R上连续可导，且2f（x）﹣f′（x）＞0在R上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）A． B． C．f（﹣2）＞e3f（1） D．f（﹣2）＜e3f（1）参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=，求出函数g（x）的导数，根据函数的单调性求出g（1）＞g（2），判断答案即可．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，而2f（x）﹣f′（x）＞0在R上恒成立，故g′（x）＜0在R恒成立，g（x）在R递减，故g（1）＞g（2），即f（1）＞，故选：A．8.已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm3参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该三棱锥高为3，底面为直角三角形．【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，∴V=××3×1×3=．故选A．9.已知样本数据，，…，的平均数是，则新的样本数据，，…，的平均数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C由题意得新数据的平均数为。选C。

10.已知P是直线上的动点，PA、PB是圆的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是

（）A． B．2 C． D．2参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是定义域为的偶函数，当时，，那么不等式的解集是 ．参考答案：

12.如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________；参考答案：13.已知z=2x﹣y，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为

．参考答案：5【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x﹣y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x﹣y过可行域内的点A时，从而得到z=2x﹣y的最大值即可．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x﹣z，当直线经过A（2，﹣1）时，z取到最大值，Zmax=5．故答案为：5．14.已知关于x的不等式的解集为，则实数=

．参考答案：315.若函数f(x)=2|x－a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1－x)，且f(x)在[m,+∞)上单调递增，则实数m的最小值等于_______．参考答案：116.已知向量，若，则等于

。参考答案：17.过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为_________.参考答案：设右焦点为F′，则

∵，

∴，

∴E是PF的中点，

∴PF′=2OE=a，

∴PF=3a，

∵OE⊥PF，

∴PF′⊥PF，

∴（3a）2+a2=4c2，

∴.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知椭圆的焦点坐标是,过点F2垂直与长轴的直线交椭圆与P,Q两点,且|PQ|=3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,则△F1MN的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在,请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）设椭圆的方程是,由交点的坐标得:,由,可得，解得故椭圆的方程是（Ⅱ）设,设的内切圆半径是,则的周长是,,因此最大,就最大由题知,直线的斜率不为0,可设直线的方程为,由得,,

则令则则令当时,,在上单调递增,有f(t)≥f(1)＝4，≤＝3,即当t＝1，m＝0时,≤＝3，=4R，所以,此时所求内切圆面积的最大值是故直线,△F1MN内切圆的面积最大值是.(或用对勾函数的单调性做也给满分）

19.已知函数.（I）求在处的切线方程；（II）讨论函数的单调性。参考答案：（I）（Ⅱ）在和上单调递增，在和上单调递增【分析】（I）求得函数的导数，得到，利用直线的点斜式方程，即可求解在处的切线方程；（II）设，求得则，令，解得，进而可求得函数的单调区间．【详解】（I）由题意，函数，得，可得，故在处的切线方程为，即．（II）设，则令，解得则随的变化情况如下表：极小极大极小

所以在和上单调递增，在和上单调递增．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程，以及利用导数求解函数的单调性，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．20.（本小题满分12分）已知等比数列中，，公比.（1）为的前项和，证明：（2）设，求数列的通项公式参考答案：解：（1）因为

---------------------------------------------3分，所以

---------------------------------------6分（2）

---------------------------------12分21.（12分）已知函数

（1）判断函数f(x)的奇偶性；

（2）求f(x)的值域；

（3）讨论f(x)在(－∞，+∞)上的单调性.参考答案：解：(1)是奇函数.(2)值域为(－1，1).22.（本小题满分14分）在数列和中，已知.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和.参考答案：（Ⅰ）∵∴数列｛｝是首项为，公比为的等比数列，∴

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