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文档简介
山西省吕梁市玉喜中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为() A.8π B. 12π C. 16π D. 48π参考答案:B2.“”是“函数在区间(1,+∞)上单调递增”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件参考答案:A3.点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.
B.C.
D.参考答案:A【知识点】圆的方程H3设圆上任意一点为(x1,y1),中点为(x,y),则,代入x2+y2=4得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.【思路点拨】设圆上任意一点为(x1,y1),中点为(x,y),则,由此能够求出点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程.4.已知集合,,则=A. B. C. D.参考答案:B5.下列命题中正确的是(
)(1)已知为纯虚数的充要条件(2)当是非零实数时,恒成立(3)复数的实部和虚部都是(4)设的共轭复数为,若A.(1)(2)
B.(1)(3)
C.(2)(3)
D.(2)(4)参考答案:C略6.设函数则(
)A.有最大值
B.有最小值
C.是增函数
D.是减函数参考答案:A略7.数列{an}中,对任意n∈N*,a1+a2+…+an=2n﹣1,则a12+a22+…+an2等于()A.(2n﹣1)2 B. C.4n﹣1 D.参考答案:D【考点】数列的求和.【分析】当n≥2时,由a1+a2+…+an=2n﹣1可得a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1,因此an=2n﹣1,当n=1时也成立.再利用等比数列的前n项和公式可得a12+a22+…+an2.【解答】解:当n≥2时,由a1+a2+…+an=2n﹣1可得a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1,∴an=2n﹣1,当n=1时也成立.∴=4n﹣1.∴a12+a22+…+an2==.故选:D.8.已知MOD函数是一个求余函数,记MOD(m,n)表示m除以n的余数,例如MOD(8,3)=2.如图是某个算法的程序框图,若输入m的值为48时,则输出i的值为()A.7 B.8 C.9 D.10参考答案:C【考点】程序框图.【分析】模拟执行程序框图,根据题意,依次计算MOD(m,n)的值,由题意∈N*,从而得解.【解答】解:模拟执行程序框图,可得:n=2,i=0,m=48,满足条件n≤48,满足条件MOD(48,2)=0,i=1,n=3,满足条件n≤48,满足条件MOD(48,3)=0,i=2,n=4,满足条件n≤48,满足条件MOD(48,4)=0,i=3,n=5,满足条件n≤48,不满足条件MOD(48,5)=0,n=6,…∵∈N*,可得:2,3,4,6,8,12,16,24,48,∴共要循环9次,故i=9.故选:C.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,依次正确写出每次循环得到的MOD(m,n)的值是解题的关键.9.设
(
)
A.-1
B.1
C.-2
D.2参考答案:B略10.定义区间,,,的长度均为.用表示不超过的最大整数,记,其中.设,,若用表示不等式解集区间的长度,则当时,有
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若变量x,y满足约束条件且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,a-b的值是____________参考答案:本题主要考查线性规划的应用,意在考查考生对基础知识的掌握.约束条件表示以(0,0),(0,2),(4,4),(8,0)为顶点的四边形区域,检验四个顶点的坐标可知,当x=4,y=4时,a=zmax=5×4-4=16;当x=8,y=0时,b=zmin=5×0-8=-8,∴a-b=24.12.已知数列的首项为,且,则这个数列的通项公式为___________参考答案:略13.下图所示的程序框图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成的.阅读下面的程序框图,并回答问题.
若a>b>c,则输出的数是
.参考答案:a14.计算:=.参考答案:8考点:对数的运算性质.专题:计算题.分析:把要计算的代数式中的指数式变分数指数幂为根式,把对数式的真数的指数拿到对数符号前面,运用换底公式化简.解答:解:=.故答案为8.点评:本题考查了对数的运算性质,对数式logab与logba互为倒数,是基础题.15.已知函数,若f(a)﹣2f(﹣a)>0,则实数a的取值范围是
.参考答案:(﹣1,0)∪(1,+∞)【考点】分段函数的应用.【专题】分类讨论;转化思想;函数的性质及应用.【分析】结合已知的函数解析式和对数函数的图象和性质,分别求出不同情况下实数a的取值范围,综合讨论结果,可得答案.【解答】解:若a>0,则﹣a<0,不等式f(a)﹣2f(﹣a)>0可化为:=3log2a>0,解得:a∈(1,+∞);若a<0,则﹣a>0,不等式f(a)﹣2f(﹣a)>0可化为:=3>0,解得:a∈(﹣1,0);综上所述,a∈(﹣1,0)∪(1,+∞),故答案为:(﹣1,0)∪(1,+∞)【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,分类讨论思想,难度中档.16.已知离心率是的双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合,则该双曲线的标准方程为.参考答案:【考点】KI:圆锥曲线的综合.【分析】利用抛物线方程求出双曲线的焦点坐标,通过离心率求出a,然后求解b,即可求解双曲线方程.【解答】解:离心率是的双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合,可得c=5,=,可得a=,则b==2.所求的双曲线方程为:.故答案为:.【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用,双曲线方程的求法,考查计算能力.17.如图,在菱形ABCD中,M为AC与BD的交点,∠BAD=,AB=3,将△CBD沿BD折起到△C1BD的位置,若点A,B,D,C1都在球O的球面上,且球O的表面积为16π,则直线C1M与平面ABD所成角的正弦值为.参考答案:【考点】直线与平面所成的角.【分析】求出球半径为,根据图形找出直线C1M与平面ABD所成角,解三角形即可.【解答】解:如图所示,设O为球心,E、F分别为△ABD、△C1BD的外接圆圆心,则有OE⊥面ABD,OF⊥面C1BD,∵菱形ABCD中,∠BAD=,AB=3∴△ABD、△C1BD为等边△,故E、F分别为△ABD、△C1BD的中心.∵球O的表面积为16π,∴球半径为2.在直角△AOM中,OA=2,AE=,?QE=1.tan∠OME=,∵C1M⊥DB,AM⊥DB,∴DB⊥面AMC1,∴∠C1MA(或其补角)就是直线C1M与平面ABD所成角.∠C1MA=2∠OME,tan∠C1MA=tan(2∠OME)=,sin∠C1MA=,直线C1M与平面ABD所成角的正弦值为,故答案为:.【点评】本题考查了棱锥与外接球的关系,找出线面角是解题关键.属于中档题.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.参考答案:解析:设小正方形的边长为厘米,则盒子底面长为,宽为
,(舍去)
,在定义域内仅有一个极大值,
19.(本小题12分)已知数列的前项和为,且。(1)证明:数列为等比数列;(2)若数列满足,且,求数列的通项公式。参考答案:(1)由已知当时,有……2分两式相减得整理得…………4分当时,……5分故数列是首项为,公比为等比数列。…………6分(2)由(1)可知,……7分由可得
………9分累加得………………10分又,于是……12分20.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,,C1H⊥平面AA1B1B,且.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;(2)求二面角A-A1C1-B1的正弦值;(3)设N为棱B1C1的中点,点M在平面AA1B1B内,且MN⊥平面A1B1C1,求线段BM的长.参考答案:略21.(本小题满分13分)已知向量,与共线.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.参考答案:(Ⅰ),又∵
…5分(Ⅱ)
…9分∵,当时,,当时,
…13分22.已知函数f(x)=mln(x+1),g(x)=(x>﹣1).(Ⅰ)讨论函数F(x)=f(x)﹣g(x)在(﹣1,+∞)上的单调性;(Ⅱ)若y=f(x)与y=g(x)的图象有且仅有一条公切线,试求实数m的值.参考答案:【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)求得F(x)的导数,讨论当m≤0时,当m>0时,由导数大于0,可得增区间;导数小于0,可得减区间,注意定义域;(Ⅱ)分别求出f(x),g(x)在切点处的斜率和切线方程,化为斜截式,可得y=f(x)与y=g(x)的图象有且仅有一条公切线等价为=(1),mln(a+1)﹣=(2),有唯一一对(a,b)满足这个方程组,且m>0,消去a,得到b的方程,构造函数,求出导数和单调性,得到最值,即可得到a=b=0,公切线方程为y=x.【解答】解:(Ⅰ)F′(x)=f′(x)﹣g′(x)=﹣=(x>﹣1),当m≤0时,F′(x)<0,函数F(x)在(﹣1,+∞)上单调递减;…(2分)当m>0时,令F′(x)<0,可得x<﹣1+,函数F(x)在(﹣1,﹣1+)上单调递减;F′(x)>0,可得>﹣1+,函数F(x)在(﹣1+,+∞)上单调递增.综上所述,当m≤0时,F(x)的减区间是(﹣1,+∞);当m>0时,F(x)的减区间是(﹣1,﹣1+),增区间是(﹣1+,+∞)…(4分)(Ⅱ)函数f(x)=mln(x+1)在点(a,mln(a+1))处的切线方程为y﹣mln(a+1)=(x﹣a),即y=x+mln(a+1)﹣,函数g(x)=在点(b,)处的切线方程为y﹣=(x﹣b),即y=x+.y=f(x)与y=g(x)的图象有且仅有一条公切线所以=(1),mln(a+1)﹣=(2),有唯一一对(a,b)满足这个方程组,且m>0…(6分)由(1)得:a+1=m(b+1)2代入(2)消去a,整理得:2mln(b+1)++mlnm﹣m﹣1=0,关于b(b>﹣1)的方程有唯一解…(8分)令t(b)=2mln(b+1)++mlnm﹣m﹣1,t′(b)=﹣=,方程组有解时,m>0,所以t(b)在(﹣1,﹣1+)单调递减,在(﹣1+,+∞)上单调递增.所以t(b)min=t((﹣1+)
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