山西省吕梁市兴县魏家滩镇木崖头中学2023年高三数学理月考试卷含解析

山西省吕梁市兴县魏家滩镇木崖头中学2023年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.甲、乙二人约定7:10在某处会面，甲在7：00-7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05-7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C2.已知，函数在同一坐标系中的图象可能是参考答案：C当时，A,B,C,D都不正确；当时，C正确，选C.3.设z=2x+y，其中变量x，y满足．若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出k的值，通过平移即可求z的最小值为．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大为6．即2x+y=6．经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由得，即B（2，2），∵直线y=k过B，∴k=2．由，解得，即A（﹣2.2）．此时z的最小值为z=﹣2×2+2=﹣2，故选：A．4.已知非零向量满足,向量的夹角为,且,则向量与的夹角为

A.

B. C.

D.参考答案：B略5.在一次赠书活动中，将2本不同的小说与2本不同的诗集赠给2名学生，每名学生2本书，则每人分别得到1本小说与1本诗集的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n==6，再求出每人分别得到1本小说与1本诗集包含的基本事件个数m=（）×=4，由此能示出每人分别得到1本小说与1本诗集的概率．【解答】解：在一次赠书活动中，将2本不同的小说与2本不同的诗集赠给2名学生，每名学生2本书，基本事件总数n==6，每人分别得到1本小说与1本诗集包含的基本事件个数m=（）×=4，∴每人分别得到1本小说与1本诗集的概率p=．故选：D．6.已知函数的图像与直线的两个相邻公共点之间的距离等于，则的单调减区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：，最大值为，故与直线的交点距离为一个周期，所以，，令，解得函数的减区间为.考点：三角函数图象与性质.7.函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为(

) A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）参考答案：D考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=logt．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．解答： 解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=logt随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．8.已知三条不重合的直线和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为（

） ①若

②③

④A．1

B．2

C．3

D．4

参考答案：B9.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为（

）A．

B．-1C．

D．1

参考答案：B略10.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,第次观测得到的数据为，具体如下表所示：123456784041434344464748在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中是这8个数据的平均数)，则输出的的值是

（

）

A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为

.参考答案：12.若函数在点处存在极值，则a=

，b=

。参考答案：-2，略13.若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是

。参考答案：14.已知平面向量的夹角为，，则=

．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出，开方后得答案．【解答】解：∵向量的夹角为，，∴===4．∴=2故答案为：2．15.已知x，y满足，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则展开式的常数项为．参考答案：240【考点】7C：简单线性规划；DC：二项式定理的应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得n，再由二项式的通项求解．【解答】解：由约束条件x，y满足，作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=x+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．则=．由Tr+1=（﹣2）r?．令6﹣=0得r=4．∴则展开式的常数项为=240．故答案为：240．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查二项式定理的应用，是中档题．16.设函数（），则导数值的取值范围是_________.参考答案：略17.已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB丄平面BCD，BC丄CD，若AB=6，AC=,CD=，则B、C两点在此球面上的球面距离是_______参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线，圆.（I）若抛物线的焦点在圆上，且为和圆的一个交点，求；（II）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值.参考答案：（I）由题意，得，从而.

解方程组，得，所以.

5分（II）设，则切线的方程为，整理得

6分

由得，所以，整理，得且，

8分所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值为，此时.

12分19.(12分)已知函数(a>0)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1。(1)用a表示出b、c;(2)若在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;(3)证明:。参考答案：（Ⅰ）(2)[，+∞)(3)略【知识点】导数的应用B12（Ⅰ）f′(x)=a-，则有得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=ax++1-2a，

令g（x）=f（x）-lnx=ax++1-2a-lnx，x∈[1，+∞）

则g（1）=0，g′(x)=a--==（i）当0＜a＜，＞1若1＜x＜，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，

所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒不成立．

（ii）a≥时，≤1若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx综上所述，所求a的取值范围为[，+∞)(3)由（2）知a时，有f(x)lnx(x1)令a=,则f(x)=(x-)lnx,当x>1时，总有(x-)lnx令x=,则ln<(-)=(+)Ln(k+1)+lnk<(+),k=1,2…..,n将上述n个不等式累加得ln(n+1)<+(++….+)+整理得【思路点拨】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；

（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）-lnx=ax++1-2a-lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．(3)利用累加证明结果。20.(本题满分13分)某班几位同学组成研究性学习小组，对岁的人群随机抽取n人进行了一次日常生活中是否具有环保意识的调查.若生活习惯具有环保意识的称为“环保族”，否则称为“非环保族”，得到如下统计表：组数分组环保族人数占本组的频率本组占样本的频率第一组1200.60.2第二组195pq第三组

100:]0.50.2第四组a0.40.15第五组300.30.1第六组150.30.05（Ⅰ）求q、n、a、p的值；（Ⅱ）从年龄段在的“环保族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外环保活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在的概率.参考答案：解:（Ⅰ）第二组的频率为：q=1-（0.2+0.2+0.15+0.1+0.05）=0.3第一组的人数为，第一组的频率为0.2

所以：

第二组人数为1000×q=1000×0.3=300

所以：

第四组人数a=1000×0.15=150

所以：a=150×0.4=60（Ⅱ）因为年龄段的“环保族”与年龄段的“环保族”人数比值为60:30=2:1，采用分层抽样法抽取6人，年龄段的有4人，年龄段的有2人；设年龄段的4人为a、b、c、d，年龄段的2人为m、n，则选取2人作为领队的有（a,b）、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m)(b,n)、(c,d)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)、(m,n)，共15种；其中恰有1人年龄在的有(a,m)、(a,n)、(b,m)、(b,n)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)，共8种所以选取的2名领队中恰有1人年龄在的概率为

。略21.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3<x<6，为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．参考答案：．解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润.从而，，（3，4）4（4，6）+0-单调递增极大值4