山西省临汾市霍州退沙街道办事处联合学校2021年高三数学理下学期期末试题含解析

山西省临汾市霍州退沙街道办事处联合学校2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（1+tan12°）（1﹣tan147°）=（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；函数思想；转化思想；三角函数的求值．【分析】化简表达式，利用两角和的正切函数求解即可．【解答】解：（1+tan12°）（1﹣tan147°）=（1+tan12°）（1+tan33°）=1+tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1+tan45°（1﹣tan12°tan33°）+tan12°tan33°=2．故选：B．【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，考查计算能力．2.“成等差数列”是“”成立的（

）A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：A3.在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域上恰有两个点在圆（）上，则A．，

B．，

C．，

D．，参考答案：D略4.已知集合，，则A∩B=（

）A.{1,2} B.{1,4} C.{2,4} D.{3,4}参考答案：B【分析】先化简集合，再利用交集的定义求解即可.【详解】因为，，所以,故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.5.如图，抛物线的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使，过点C，D分别作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为(

)．A．

B．

C．

D.4参考答案：D6.已知命题，命题.下面结论正确的是（

）A．命题“”是真命题

B.命题“”是假命题C．命题“”是真命题

D．命题“”是假命题参考答案：D略7.如图，已知线段，当点在以原点为圆心的单位圆上运动时，点在轴上滑动，设，记为点的横坐标关于的函数，则在上的图像大致是参考答案：B8.已知是函数的一个零点，若，则A．

B．C．

D．参考答案：D

9.在数列中，，若，则等于A．

B．

C．

D．

参考答案：C10.设x，y满足约束条件，则的最小值为（

）A.1B.C.D.参考答案：D【分析】画出可行域，利用的几何意义，求得的最小.【详解】由图知的最小值为原点到直线的距离，则最小距离为.故选D.【点睛】本小题主要考查非线性目标函数的最值的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设单位向量满足，=则．参考答案：考点：向量的模．专题：计算题．分析：根据题意和数量积的运算法则先求出，再求出．解答：解：∵，=1，=1∴==1﹣2+4=3，∴=，故答案为：．点评：本题考查了利用向量数量积的运算求出向量模，属于基础题．12.15．先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b．将a,b,5的值分别作为三条线段的长，这三条线段能围成等腰三角形的概率

。参考答案：略13.若（a﹣2i）i=b+i（a，b∈R），则=．参考答案：2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数的运算和复数相等可得a和b的方程组，解方程组可得答案．解答：解：∵（a﹣2i）i=b+i，∴2+ai=b+i，∴，∴=2故答案为：2点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数相等，属基础题．14.若关于的三元一次方程组有唯一解，则的取值的集合是-------------------

．参考答案：15.在四面体ABCD中，，则四面体体积最大时，它的外接球半径R=

．参考答案：如图，取AB中点E，连接CE，DE，设AB=2x（0＜x＜1），则CE=DE=，∴当平面ABC⊥平面ABD时，四面体体积最大，为V===．V′=，当x∈（0，）时，V为增函数，当x∈（，1）时，V为减函数，则当x=时，V有最大值．设△ABD的外心为G，△ABC的外心为H，分别过G、H作平面ABD、平面ABC的垂线交于O，则O为四面体ABCD的外接球的球心．在△ABD中，有sin，则cos，∴sin=．设△ABD的外接圆的半径为r，则，即DG=r=．又DE=，∴OG=HE=GE=．∴它的外接球半径R=OD=．

16.π为圆周率，e=2.71828为自然对数的底数．则3π，πe，3e，π3，e3，eπ这6个数中的最大值是．参考答案：考点： 指数函数的单调性与特殊点．专题： 函数的性质及应用．分析： 构造函数f（x）=，由导数性质得函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．由e＜3＜π，得ln＜ln，ln＜ln．从而＜＜，＜＜，由函数f（x）=的单调性质，得f（π）＜f（3）＜f（e），由此能求出，，，，，这6个数中的最大值．解答： 解：函数f（x）=的定义域为（0，+∞），∵f（x）=，∴f′（x）=，当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln＜ln，ln＜ln．于是根据函数y=lnx，y=ex，y=πx在定义域上单调递增，可得＜＜，＜＜，故这六个数的最大数在π3与3π之中，由e＜3＜π及函数f（x）=的单调性质，得f（π）＜f（3）＜f（e），即＜＜，由＜，得ln＜ln，∴＞，，，，，，这6个数中的最大值是．故答案为：3π．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．17.已知为复数，为实数，，且,则=

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知圆C：，直线l1过定点A(1，0).（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；

（2）若l1与圆C相交于P、Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程.参考答案：解：(Ⅰ)①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.

②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．

由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得.

所求直线l1的方程是或.

（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,设直线方程为，

则圆心到直线l1的距离

又∵△CPQ的面积

＝

∴

当d＝时，S取得最大值2.

∴＝

∴k＝1或k＝7

所求直线l1方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.19.已知函数．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）当时，即，当时，得，即，所以；当时，得成立，所以；当时，得，即，所以.故不等式的解集为.（Ⅱ）因为，由题意得，则或，解得或,

故的取值范围是.略20.对于数列A：a1，a2，…，an，若满足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0﹣1数列”．若存在一个正整数k（2≤k≤n﹣1），若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”，例如数列A：0，1，1，0，1，1，0．因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”．（Ⅰ）分别判断下列数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；（III）假设数列A不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{an}的最后一项am的值．参考答案：【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）是“5阶可重复数列”．（Ⅱ）因为数列{an}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．分类讨论：若m=11，则数列{an}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”；则3≤m＜10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}．（III）由于数列{an}在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{an}的末项am后再添加一项0或1，则存在i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3，ai+4与am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，0按次序对应相等，或aj，aj+1，aj+2，aj+3，aj+4与am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，1按次序对应相等，经过分析可得：am=a4．【解答】解：（Ⅰ）是“5阶可重复数列”，10101．…．（Ⅱ）因为数列{an}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．若m=11，则数列{an}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”；若m=10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”；则3≤m＜10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}．所以，要使数列{an}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11．…．（III）由于数列{an}在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{an}的末项am后再添加一项0或1，则存在i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3，ai+4与am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，0按次序对应相等，或aj，aj+1，aj+2，aj+3，aj+4与am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，1按次序对应相等，如果a1，a2，a3，a4与am﹣3，am﹣2，am﹣1，am不能按次序对应相等，那么必有2≤i，j≤m﹣4，i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3、aj，aj+1，aj+2，aj+3与am﹣3，am﹣2，am﹣1，am按次序对应相等．此时考虑ai﹣1，aj﹣1和am﹣4，其中必有两个相同，这就导致数列{an}中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{an}是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{an}不是“5阶可重复数列”矛盾！所以a1，a2，a3，a4与am﹣3，am﹣2，am﹣1，am按次序对应相等，从而am=a4=1．…．21.已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的递减区间．参考答案：考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）首先利用三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（2）根据（1）的结论，利用整体思想求单调区间．解答：解：（1）f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+2=所以：+2=（2）令：（k∈Z）（k∈Z）所以f（x）的单调减区间是点评：本题考查的知识要点：三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出函数的值，利用整体思想求单调区间．22.

函数g(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)，在其图象