山西省临汾市薛关中学高三数学文期末试题含解析

山西省临汾市薛关中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给出下列函数：①f（x）=xsinx；②f（x）=ex+x；③f（x）=ln（﹣x）；?a＞0，使f（x）dx=0的函数是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③参考答案：B【考点】特称命题．【专题】对应思想；转化法；导数的综合应用；简易逻辑．【分析】①求出f（x）dx的积分，结合函数的图象得出存在a＞0，使f（x）dx=0成立；②求出（ex+x）dx=0时a的值，得出命题不成立；③根据f（x）是定义域上的奇函数，积分的上下限互为相反数，得出定积分值为0，满足条件．【解答】解：对于①，f（x）=xsinx，∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx，∴xsinxdx=（sinx﹣xcosx）=2sina﹣2acosa，令2sina﹣2acosa=0，∴sina=acosa，又cosa≠0，∴tana=a；画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示；在（0，）内，两函数的图象有交点，即存在a＞0，使f（x）dx=0成立，①满足条件；对于②，f（x）=ex+x，（ex+x）dx=（ex+x2）=ea﹣e﹣a；令ea﹣e﹣a=0，解得a=0，不满足条件；对于③，f（x）=ln（﹣x）是定义域R上的奇函数，且积分的上下限互为相反数，所以定积分值为0，满足条件；综上，?a＞0，使f（x）dx=0的函数是①③．故选：B．【点评】本题主要考查了定积分运算性质的应用问题，当被积函数为奇函数且积分区间对称时，积分值为0，是综合性题目．2.函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D3.设函数f（x）=是奇函数（a,b,c都是整数）且f（1）=2,f（2）<3

（1）求a,b,c的值；（2）当x<0，f（x）的单调性如何？用单调性定义证明你的结论。

（3）当x>0时，求函数f（x）的最小值。参考答案：（12分）解：（Ⅰ）由是奇函数，得对定义域内x恒成立，则对对定义域内x恒成立，即

（或由定义域关于原点对称得）

又由①得代入②得，又是整数，得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，当，在上单调递增，在上单调递减．下用定义证明之．

设，则＝

，因为，，

，故在上单调递增；

同理，可证在上单调递减．略4.已知数列的前项和，正项等比数列中，，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知双曲线,其中，双曲线半焦距为c,若抛物线的准线被双曲线C截得的弦长为（e为双曲线C的离心率），则双曲线C的渐近线方程为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B6.已知复数z满足(i是虚数单位)，则(

)A． B． C． D．参考答案：A7.二项式展开式的二项式系数之和为，则展开式第四项的系数为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C8.某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：D9.下列复数是纯虚数的是A．

B．

C．

D．参考答案：C10.甲、乙、丙、丁、戊5名学生各自在3门数学选修课：数学史、数学建模和几何画板中任选一门学习，则这三门课程都有同学选修且甲不选修几何画板的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】求出5名学生任选一门的做法，根据条件概率求出三门课程都有同学选修的做法以及三门课程都有同学选修且甲不选几何画板的做法，求出满足条件的概率即可．【解答】解：5名学生任选一门的做法为35=243，三门课程都有同学选修的做法为，三门课程都有同学选修且甲不选几何画板的做法为：，所求的概率为，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若0，﹣＜β＜0，cos（）=，sin（+）=，则cos（2α+β）=．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和的正弦函数公式，余弦函数公式，二倍角公式化简已知等式，可求sin2α，sinβ，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosβ的值，利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵cos（）=（cosα﹣sinα）=，可得：cosα﹣sinα=，①∴两边平方可得，1﹣sin2α=，解得：sin2α=，∵0，可得：cosα+sinα==，②∴由①②解得：cos2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=，又∵sin（+）=，可得：（sin+cos）=，两边平方，可得：sinβ=，cosβ=，∴cos（2α+β）=cos2αcosβ﹣sin2αsinβ=×﹣×（﹣）=．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，余弦函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．12.已知全集，且的取值范围是

。参考答案：13.设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为_________．参考答案：略14.用表示不超过的最大整数，如，设函数，关于函数有如下四个命题：①的值域为；②是偶函数；③是周期函数，最小正周期为1；④是增函数.其中正确命题的序号是：

.参考答案：③15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，A=60°，则sinB=_________________，c=___________________.参考答案：

3由正弦定理，得，所以.由余弦定理，，得，所以.16.已知点O是锐角△ABC的外心，AB=8，AC=12，A=．若，则6x+9y=．参考答案：5【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．可得D，E分别为AB，AC的中点．可得=，=．由A=，可得．对，两边分别与，作数量积即可得出．【解答】解：如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．则D，E分别为AB，AC的中点，∴===32．===72．∵A=．∴==48．∵，∴=，=+y，化为32=64x+48y，72=48x+144y，联立解得x=，y=．∴6x+9y=5．故答案为：5．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、三角形外心性质、垂经定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.如图，点在轴的非负半轴上运动，点在轴的非负半轴上运动.且.设点位于轴上方，且点到轴的距离为，则下列叙述正确的个数是_________.①随着的增大而减小；②的最小值为，此时；③的最大值为，此时；④的取值范围是.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数。（1）求函数的最小值；（2）设，讨论函数的单调性；

（3）斜率为的直线与曲线交于,两点，

求证：。参考答案：1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．∵当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，∴当时，．-----------------4分（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＜0时，令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．------------------------------------8分（3）证：．要证，即证，等价于证，令，则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则，故g（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．②设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．由①②知（*）成立，得证．---------------------------------12分略19.（本小题共13分）已知数列，，，，（）．⑴求，；⑵是否存在正整数，使得对任意的，有；⑶设，问是否为有理数，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）；．

（Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的，有．则存在无数个正整数，使得对任意的，有．设为其中最小的正整数．若为奇数，设（），则．与已知矛盾．

若为偶数，设（），则，而从而．而，与为其中最小的正整数矛盾．综上，不存在正整数，使得对任意的，有．（Ⅲ）若为有理数，即为无限循环小数，则存在正整数，，对任意的，且，有．与（Ⅱ）同理，设为其中最小的正整数．若为奇数，设（），

当时，有．与已知矛盾．

若为偶数，设（），当时，有，而从而．而，与为其中最小的正整数矛盾．故不是有理数．

……………………13分20.已知在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an（n∈N*），求{bn}的前n项和Sn．参考答案：（I）设等比数列{an}的公比为q，∵a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1=1，∴2a2=a1+（a3﹣1）=a3，..................................2∴=2，.......................................3∴=2n﹣1，（n∈N*）．......................5（Ⅱ）∵∴（2n﹣1+2n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）..................................6=+......................................10=n2+2n﹣1．............................1221.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若方程有三个不同的解，求的取值范围．参考答案：【知识点】绝对值不等式的解法；根的存在性及根的个数判断．N4(1)；(2)解析：（Ⅰ）时，，zxxk∴当时，不合题意；当时，，解得；当时,符合题意.

3分综上,的解集为

5分（Ⅱ）设，的图象和的图象如右图：

7分易知的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而.

10分【思路点拨】(1)若a=0，则f（x）=，分x＜﹣1时、当﹣1≤x＜0时、当x≥0时，三种情况，分别求得不等式的解集，再取并集，即得所求．(2)设u（x）=|x+1|﹣|x|，由题意易知，把函数y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，从而求得a的范围．22.函数的定义域为，且满足：①对于任意的，；②在区间上单调递增.求:（Ⅰ）

（Ⅱ）不等式的解集.参考答案：解：（Ⅰ）令，则，所以