山西省临汾市新星学校2021年高三数学理月考试题含解析

山西省临汾市新星学校2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知矩形ABCD中，，BC=1，则=(

)A．1 B．﹣1 C． D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】法一、以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，得到点的坐标，进一步求得向量的坐标得答案；法二、以为基底，把用基底表示，则可求．【解答】解：法一、如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），，，D（0，1），∴，，则．故选：A．法二、记，，则，，，∴=．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，解答此类问题常用两种方法，即建系法或利用平面向量基本定理解决，建系法有时能使复杂的问题简单化，是中档题．2.若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：D考点：等比数列的性质；等差数列的性质．

专题：等差数列与等比数列．分析：由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．解答：解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．3.已知点A（0，1），B（﹣2，3）C（﹣1，2），D（1，5），则向量在方向上的投影为（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先求出，，根据投影的定义，在方向的投影为，所以根据两向量夹角的余弦公式表示出，然后根据向量的坐标求向量长度及数量积即可．【解答】解：∵；∴在方向上的投影为==．故选D．【点评】考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．4.下列命题中，真命题的是（

）A．是的必要不充分条件B．是的充分不必要条件C．是的充要条件D．是的必要不充分条件参考答案：D5.某演绎推理的“三段”分解如下：①函数是对数函数；②对数函数是增函数；③函数是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是（

）A.①→②→③ B.③→②→① C.②→①→③ D.②→③→①参考答案：C【分析】根据三段论的定义判断即可.【详解】①函数是对数函数；②对数函数是增函数；③函数是增函数，大前提是②，小前提是①，结论是③．故排列的次序应为：②→①→③，故选：C．【点睛】本题主要考查了三段论的定义，属于基础题.6.极坐标方程表示的曲线为

（

）

A．极点B．极轴

C．一条直线D．两条相交直线参考答案：D略7.已知复数，则（

）A．

B．

C．1

D．2参考答案：A,选A.8.在中，角A,B,C所对的边分别为表示的面积，若，，则A.30° B.45° C.60° D.90°参考答案：B根据正弦定理得，即，所以。即。由得，即，即，所以，所以，选B.9.函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(-∞,4］上递减，则a的取值范围是（

）A．［-3,+∞］

B．(-∞,-3)

C．(-∞,5］

D．［3,+∞)参考答案：B略10.若集合的值为

（

）

A．0

B．

C．1，0，

D．0，参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线C方程为：，曲线C的其中一个焦点到一条渐近线的距离为2，则实数a的值为（

）（A）2

（B）（C）1

（D）参考答案：A12.若函数在上是奇函数，则实数=

．参考答案：13.函数在区间［0，］上的零点个数为（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B14.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨，生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是

万元参考答案：2715.已知则的值为

.参考答案：3略16.若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是

。参考答案：17.若等比数列{}的首项为，且，则公比等于_____________;参考答案：3

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取BC中点M，连接B1M，证明B1M⊥AC，AC⊥BC，AC⊥平面B1C1CB，然后证明平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系，设B1M=t，求出相关点的坐标，求出平面AB1B法向量，平面AB1C1法向量，利用二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，转化求解斜三棱柱的高即可．【解答】解：（1）取BC中点M，连接B1M，则B1M⊥平面ACB，∴B1M⊥AC又AC⊥BC，且B1M∩BC=M，∴AC⊥平面B1C1CB因为AC?平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系CA=BC=2，设B1M=t，则A（2，0，0），B（0，2，0），M（0，1，0），B1（0，1，t），C1（0，﹣1，t）即设面AB1B法向量，∴，同理面AB1C1法向量因为二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，∴，∴t4+29t2﹣96=0∴t2=3，所以斜三棱柱的高为．19.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，t≠0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C3的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+8=0．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）（2）若点P是曲线C3上一动点，求点P到曲线C1的最短距离．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）直接根据参数方程和普通方程互化公式进行处理、极坐标方程和直角坐标方程的互化公式进行化简即可；（2）首先，求解圆心到直线的距离，然后，该距离去掉半径即为所求．【解答】解：根据曲线C1的参数方程为（t为参数，t≠0），得y=，∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，∴x2+y2=2y，联立方程组，∴或，它们图象的交点为：（0，0），（，），对应的极坐标为（0，0），（，），（2）曲线C3的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+8=0，对应的直角坐标方程为：x2+y2﹣6x+8=0，∴（x﹣3）2+y2=1，故圆心为（3，0），半径为r=1，圆心（3，0）到直线y=x的距离为d=，∴点P到曲线C1的最短距离．【点评】本题重点考查了极坐标和直角坐标的互化、参数方程和普通方程的互化公式等知识，属于中档题．20.已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx+1（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为6π．（1）求ω的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α﹣）=，f（3β+π）=，求cos（α+β）的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）首先根据三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用周期求出函数关系式．（2）根据（1）的结论，利用关系变换求出对应的sin，，最后求出cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sinωx﹣cosωx+1=2sin（ωx﹣）+1由于：函数的最小正周期为6π．所以：解得：ω=（2）由（1）知：f（x）=2sin（x﹣）+1=所以：所以：sinα，β∈[0，]，根据同角三角函数恒等式，所以：sin，所以：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣21.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）若曲线C上一点Q的极坐标为，且l过点Q，求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）设点，l与C的交点为A，B，求的最大值.参考答案：解.（1）把代入曲线C可得 化为直角坐标为，又过点，得直线l的普通方程为；可化为.由可得，即曲线C的直角坐标方程为.（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，，化简得，①可得，故与同号，所以时，有最大值.

此时方程①的，故有最大值.22.（12分）如图，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F、G分别是AB、AD的中点，EC与平在ABCD成30°角。

（1）求证：CF⊥平面EFG；

（2）当AD多长时，点D到平面EFC的距离为2？

参考答案：解析：（1）∵平面EAD⊥平面ABCD，EG⊥AD，∴E