正态总体的区间估计(二)-概率论与数理统计-王松桂、程维虎等-科学出版社

第七章第五节正态总体的区间估计（二）

本节讨论两个正态总体的区间估计.

在实际应用中经常会遇到两个正态总体的区间估计问题.例如:

考察一项新技术对提高产品的某项质量指标的作用──把实施新技术前产品的质量指标看成一个正态总体N(1,12),而把实施新技术后产品质量指标看成另一个正态总体N(2,22).

于是,评价此新技术的效果问题,就归结为研究两个正态总体均值之差1-2的问题.

比较甲乙两厂生产某种药物的治疗效果──把两个厂的药效分别看成服从正态分布的两个总体N(1,12)和N(2,22).

于是,评价两厂生产的药物的差异,就归结为研究对应的两个正态总体的均值之差1-2的问题.

下面讨论如何构造两个正态总体均值之差1-2的区间估计.

设X1,X2,

,Xm是抽自正态总体X～N(1,12)的样本.

它的样本均值,样本方差为:定理

Y1,Y2,

,Yn是抽自正态总体Y～N(2,22)的样本.

它的样本均值,样本方差为:

则有以下结论:

(是S12与S22的加权平均.)证明:(1).根据定理6.4.1,有:∵X1,X2,

,Xm与Y1,Y2,

,Yn抽自两个不同总体.∴X1,X2,

,Xm与Y1,Y2,

,Yn是独立的.

(2).根据定理6.4.1和12=22=2,∴有:

∵12=22=2,∴前面(1)中的:于是由t分布的定义,就得到:

欲比较甲乙两种棉花品种的优劣.

现假设用它们纺出的棉纱强度分别服从X～N(1,2.182)和Y～N(2,1.762).

试验者从这两种棉纱中分别抽取样本X1,X2,,X200和Y1,Y2,,Y100.其样本均值分别为:例1求:1-2的置信系数为0.95的区间估计.

解:∴1-2的置信系数为1-的区间估计是:

代入1=2.18,2=1.76,m=200,n=100,=0.05查得Z0.025=1.96∴1-2的置信系数为0.95的区间估计是:[-0.899,0.019].

某公司利用两条自动化流水线灌装矿泉水.

设这两条流水线所装矿泉水的体积

(毫升)分别服从X～N(1,2)和

Y～N(2,2).

现从生产线上分别抽取样本

X1,X2,,X12和Y1,Y2,,Y17.

其样本均值样本方差分别为:例2求:1-2的置信系数为0.95的区间估计.解:∴1-2的置信系数为1-的区间估计是:m=12,n=17,=0.05查得t27(0.025)=2.05∴1-2的置信系数为0.95的区间估计是:[-0.101,2.901].

说明

基于上述认识,我们考虑这样一个问题应该如何处理.

有时我们面临判定这样一个问题:未知参数是否等于某个值0.

我们该怎么办呢?其实不妨这样来思考.

如果果真等于0的话,在这种情况下:

通常认为小概率事件在一次试验中几乎是不会发生的.这时如果

那就让我们来做一次抽样,然后把样本值代入,算出刚才分析了,果真=0的话,以上小概率事件几乎是不会发生的.但现实是在这次抽样试验中居然发生了.那我们可以认为这是由于≠0导致的.在这种情况下我们判决≠0.

而如果现实是在这种情况下我们则判决=0.

比较甲乙两种棉纱的强度是否有差异.

问题可以归结为判决假设:

1=2,即1-2=0是否成立的问题.∵0[-0.899,0.019].∴我们判决如下: