山东省青岛市通济中学2023年高三数学理模拟试题含解析

山东省青岛市通济中学2023年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是函数的导函数的图象,则下面判断正确的是（

）A.在区间(－2,1)内是增函数 B.在(1,3)内是减函数C.在(4,5)内是增函数

D.在x=2时,取到极小值参考答案：C2.在平面直角坐标系中，函数y=cosx和函数y=tanx的定义域都是，它们的交点为P，则点P的纵坐标为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.若函数的图像向左平移（）个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D4.直线与圆相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为

(

)A.

B.2

C.

D.

参考答案：A因为△AOB是直角三角形，所以圆心到直线的距离为，所以，即。所以，由，得。所以点P(a,b)与点(0,1)之间距离为，即，因为，所以当时，为最大值，选A.5.复数的共扼复数是（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D．+i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==的共扼复数是+i．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为

()A．4

B．8

C．12

D．24参考答案：A解：由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直于底面，三棱锥的高是，它的体积为，故选A7.四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100π C．200π D．300π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．8.某地区举行一次数学竞赛选拔，有1000人参加，已知参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100），则成绩在90分以上（含90分）的学生共有（参考数据）A．23人

B．22

C．46

D．45参考答案：答案:A9.若“”是“”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是（）A． B． C．

D．参考答案：A略10.设全集设函数的最小正周期为，且则A.在单调递增

B.在单调递增C.在单调递减 D.在单调递减参考答案：D，因为最小正周期为，所以，又因为，所以，所以即，所以，因此选D。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*）且对任意m，n∈N*都有①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）．则f（2007，2008）的值=．参考答案：22006+4014【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】根据条件可知{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列，求出f（1，n），以及{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，求出f（n，1）和f（m，n+1），从而求出所求．【解答】解：∵f（m，n+1）=f（m，n）+2∴{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列∴f（1，n）=2n﹣1又∵f（m+1，1）=2f（m，1）∴{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，∴f（n，1）=2n﹣1∴f（m，n+1）=2m﹣1+2n∴f（2007，2008）=22006+4014故答案为：22006+4014．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，推出f（n，1）=2n﹣1，f（n，1）=2n﹣1，f（m，n+1）=2m﹣1+2n，是解答本题的关键，属中档题．12.已知，若幂函数为奇函数，且在(0,+∞)上递减，则a=____．参考答案：-1【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.已知函数若函数与的图象有三个不同交点，则实数的取值范围是

.参考答案：14.有下列命题：①函数y＝cos(x－)cos(x＋)的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数的图象关于点(－1,1)对称；③关于x的方程ax2－2ax－1＝0有且仅有一个实数根，则实数a＝－1；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则非p：存在x∈R，使得sinx>1．其中所有真命题的序号是________．参考答案：③；④①函数y＝cos(x－)cos(x＋)＝cos2x，相邻两个对称中心的距离为d＝＝，故①不正确；②函数y＝的图象对称中心应为(1,1)，故②不正确；③正确；④正确．15.已知函数，若不等式有解，则实数的取值范围为

.参考答案：略16.在极坐标系中，直线过点且与直线(R)垂直，则直线的极坐标方程为

．参考答案：略17.已知函数的图象的一部分如下图所示，当时,则函数的最大值是____________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

设各项均不为零的数列的前n项和为，且（1）求证：数列是等差数列，并写出关于n的表达式；（2）确定的值，使数列为等差数列；（3）在（2）的条件下，求数列的前n项和。参考答案：略19.（本小题共13分）已知函数。（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递减区间。参考答案：20.已知函数f（x）=axlnx+bx（a≠0）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，（e=2.71828…）（1）试讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）①设g（x）=x+，x∈（0，+∞），求g（x）的最小值；②证明：≥1﹣x．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；②问题转化为（xlnx﹣1）（xex﹣1+1）+2≥0，即（lnx+）（x+e1﹣x）≥2，设h（x）=lnx+，根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：∵f′（x）=alnx+a+b，∴f′（1）=a+b=0，故b=﹣a，∴f（x）=axlnx﹣ax，且f′（x）=alnx，当a＞0时，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞00，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；a＜0时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（2）①解：∵g（x）=x+，x∈（0，+∞），∴g′（x）=1﹣e1﹣x=，x∈（0，1）时，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2；②证明：由（1）得：f（x）=axlnx﹣ax，由≥1﹣x，得：xlnx﹣x++x﹣1≥0，即（xlnx﹣1）（xex﹣1+1）+2≥0?（xlnx+1）xex﹣1+xlnx+1≥2xex﹣1?（xlnx+1）（xex﹣1+1）≥2xex﹣1，即（lnx+）（x+e1﹣x）≥2，设h（x）=lnx+，h′（x）=，故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故h（x）≥h（1）=1，又g（x）在（0，+∞）时，g（x）≥2，故（lnx+）（x+e1﹣x）≥2成立，即≥1﹣x成立．21.已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．

（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．

（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴，∵，∴；

②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．

综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．点评：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问