2020-2021学年山东青岛市第一中学高一下学期期中考试数学试卷

，320202021学山东青岛第一中学高下学期期中考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，40.0分），3

𝜋𝜋

的值为

B.

C.

D.

44

四边形ABCD为形，对角线长为4若

，

，则|

B.

C.

D.

已知i虚数单位，下列与i等的

𝑖

B.

−C.

𝑖𝑖

D.

𝑖𝑖

𝑖

3

𝑖

4

𝑖

已知，，

3𝜋

,，o为坐标原点，则下列法正确的C.

A，，C三共线

B.D.

A，O，点共线

已知角ACeq\o\ac(△,)的角，向𝑠𝑖𝑖(𝑐，，则可以判断的状C.

等腰三角形直角三角形

B.D.

等腰直角三角形等边三角形

已知复

，3其中i

为虚数单位，若为虚数，则下列说法正确的)B.C.

复数在平面内对应的点在第象限D.

|

如图所示，为测量山高，择和另一座山的山顶测量观测点，从A点测得M点仰角

C点仰以及点得

，若山米则山高MN等于

米

B.

米

C.

米

D.

米

设∘∘是)

，，，a，小关系正确的第1页，共页

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

B.

C.

D.

二、多选题（本大题共4小题，20.0分）

关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，下列说法正确的B.C.D.

改变其中一个数据，平均数和中位数都会发生改变频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小已平面向，，|

，则。

B.

或3C.

夹角的大小为

D.

|+𝑏在中角，，的边分别是a，b，正确的

，，则下列说法C.

为锐角三角形AB长为6

B.D.

面积为或外接圆的面积为下说法正确的

在

，𝐴的要条件B.C.

将函数𝑥的象向右平移个单长度得到函6存在实数x，使得等成立

的象D.

eq\o\ac(△,)𝐴中，则

是角三角形三、单空题（本大题共3小题，15.0分）某任意统计上班步行到单位所花的时单位：分钟分别为，，10，则这组数据的标准差为．函𝑥

在区间𝜋]上值域为．在中已，𝐶，，则

．四、多空题（本大题共1小题，5.0分）右为某校名一学生的体育测试成绩的频率分布直方图果要按照分层抽样方式抽取200名学生进行分析，则要抽取的之的学生人数是绩为．

估这名学生的体育测试平均成第2页，共页

五、解答题（本大题共6小题，70.0分）某菜基地准备对现有地铺管道设施加装智能控制水泵系统，对大棚蔬菜进行动控制根部滴灌，可以大大节省人力和资金，地铺管道在达到满水最大压状态后，水泵自动停机，管道可以自动连进行滴注工作至最小工作压，然后水泵会重新开启，不同性能的管道系统根据最小工作压需要配置之压力性能相对应的水泵系统，不同品种的蔬菜由于需要的滴注速度和强度不同，可以选择配备不性能的管道系统和水泵系统．为充分了解基地内既有管道系统的总体情况，现随机抽取不同蔬菜棚的若干条管道进行满水测试些道的最小工作压数单位分组为，，其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组．下图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已，，求a，b值；已最小工作压在10以的管道系统都需要分别配备2台大功率水泵一与第二组共有200条管道，求该基地需要配备的大功率水泵的台数．第3页，共页

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋18.

已知向𝜃,，

，，复平面坐标中i

为虚数单位，复数

𝑖𝑖

对应的点为．求𝑍为曲|𝑧为的共轭复上的动点，求Z与之的最小距;若

𝜋6

，求

上的投影向量．19.

已知函

．6将化为𝑠𝑖形，的最小正周T和单调递增区间若eq\o\ac(△,)𝐴的角恰的大，若𝜃6

，求20.

在中，，b，别为角，B，C的边，．求若，为延线上一点，连接，，eq\o\ac(△,)𝑃的积．第4页，共页

𝜋21.

在中eq\o\ac(△,)𝐴所在平面内的两点

𝜋4以和𝐶

作为一组基底表

，并求𝐷为线上点，设

，若直线eq\o\ac(△,)𝐴的心，求，．22.

在平面直角坐标系中，已

8−，，，，若，，P为上的一动点，点′(1,，当，，点共线时，求点P的坐标求若，，

的夹角，的值范围．第5页，共页

，)√√+，)√√+√1.

【答案【解析】【分析】本题考查了二倍角公式及同角三角函数的基本关系，属基础题．【解答】解：

𝜋𝜋12

>0

𝜋12

𝜋12

√

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋1212123

，故答案为：．2.

【答案C【解析】【分析】本题考察平面向量的线性运算，向量的模，属于基础题．利用三角形法则和平行四边形法则，进行化简运算即可．【解答】解：|4．故选．3.

【答案D【解析】【分析】本题考查了复数的运算，属基础题．逐个判断即可．第6页，共页

121𝑖1𝑖【解答】121𝑖1𝑖解：选项中，

𝑖

𝑖𝑖2

𝑖选项B中，𝑖)1𝑖

，选项中，𝑖1−𝑖

𝑖2

，选项D中根据i

的周期性可𝑖𝑖

𝑖3𝑖4，则𝑖𝑖𝑖3𝑖𝑖

𝑖𝑖𝑖3𝑖

4

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

·𝑖𝑖，故答案为：．4.

【答案【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算，向量共线的判断，属于较易题．根据选项逐个判断即可．【解答】解：，A错．，−3,三共线，B正.同C错误．故选B．

，错．5.

【答案【解析】【分析】本题考查了向量平行共线关的坐标表示及逆用两角和与差的正弦公式，属基础题．【解答】解：，𝑖𝑐𝑖，即，第7页，共页

√，√，即，为腰三角形，故答案为：．6.

【答案C【解析】【分析】本题考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，属于基础题．纯虚数实部为0，虚部不为0解出m即．【解答】解：对于，纯虚数定义

，得，A不确，对于B，

，对应的点在二象限，故B不确；对于，𝑧

，故C正；对于D，因为，则𝑧

，𝑧

，满足

|

，故不确．故选．7.

【答案【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理的实际应用，属于中档题．由题意eq\o\ac(△,)可先求出的值弦定理可求AM的中⋅从而可求得MN的．第8页，共页

．−sin∘−cos50∘【解答】．−sin∘−cos50∘解：eq\o\ac(△,)中𝐶，，sin30°在，𝐴，，，

，由正弦定理可得sinsin

，即

，解得，在𝑡中，⋅sin3×𝑠故选.8.

【答案D【解析】【分析】本题考查三角恒等变换公式，正弦函数的单调性，属于中档题．根据三角函数相关公式进行化简，再利用正弦函数的单调性比较大小即可．【解答】解：sin(30°，sin25°

，𝑖在．故选D．

上单调递增，第9页，共页

，，，，所以夹角为，正．

【答案【解析】【分析】本题考查众数，中位数，平均数和方差以及频数分布直方图，是基础题．举出反例得到不正确根频率分布直方图中中位数的求法知正确，根据平均数与中位数的定义判断出确，根据方差的定义知D正．【解答】解：比如一组数据为1，，5把改为，中位数还是3只是平均数改变，故错．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故确．因为直方图单峰不对称且在左边拖尾，根据平均数与中位数的定义知正．方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，即方差越小，离散程度越故D确．故选．10.

【答案AC【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算，模长及夹角的计算，属于中档题．根据选项逐个判断即可．【解答】解：

，即

，解得A确B错．

𝜋，||，D错．故选．第10页，共20页

222222

【答案BD【解析】【分析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．先根据题意求得，或，据的况分类讨论逐项断即可．【解答】解：由

得

，则，因为，以，又，代入

，解得或，C错；对于A，时，

222

，时为钝角，故错；对于B，时，当时

，，故确；对于D正弦定理得

则

则外接圆面积为

，故D正．故选．12.

【答案【解析】【分析】本题考查三角函数图像的平移角等变换弦定理分条件和必要条件的判断于础题．根据选项依次判断即可．【解答】第11页，共20页

𝜋𝜋222𝜋解：A，eq\o\ac(△,)𝐴𝐵中大边对大角，对应正弦值越大，反之亦成立正．𝜋𝜋222𝜋B，将函𝑥的象向右平移个位长度得到函数𝑥6

的象B正确．C，

𝜋4

，误．D，利正弦定

，

，C钝角D正．故选．13.

【答案【解析】【分析】本题考查了利用定义求数据的平均数、方差和标准差的问题，是基础题．利用定义求这组数据的平均数、方差和标准差即可．【解答】解：数据，8，10，9的均数为：，5方差为：22−；5这数据的标准．故答案为．14.

【答案【解析】【分析】本题考察辅助角公式，三角函数的值域，属于基础题．利用辅助角公式，将函数化简𝑥，用整体思想，通过正弦函数单调性求解值域即可．3第12页，共20页

，𝜋𝜋𝜋,单递增，,先用余弦定理解，与夹角为，𝜋𝜋𝜋,单递增，,先用余弦定理解，与夹角为，而求出22又与则·𝐵|𝜋15解：𝑥，𝜋],

𝜋

．根据在

𝜋𝜋𝜋2𝜋

单递减，此时值域为．故答案为15.

【答案

15【解析】【分析】本题考查了向量的数量积的概念及其运算和利用余弦定理解三角形，属中档题．【解答】解：eq\o\ac(△,)中已，，，则

22

2

2

4

，角为𝜋，4故答案为：．16.

【答案】40【解析】【分析】第13页，共20页

𝑖本题考查频率分布直方图，分层𝑖先用成绩的率乘以200可．利区间中点乘以相应的频率求和即可．【解答】解：成绩在人数平均分数为+．故答案为；7317.

【答案】解𝑎2，因为，所，第组和第二组的频率，所以，管道总条数为

条，所以最小工作压在以的管道系统×条所以该基地需要配备的大功率水泵的台×2．【解析】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．根频率分布直方图求出，的；先直方图知第一组频率和第二组频率，求得管道总条，再结合直方图和根据题意求解即可．18.

【答案】解𝜃,·

，以

，所以所以

𝑖𝑖𝑖)(1+𝑖)𝑖𝑖𝑖𝑖)(1+𝑖)𝑖|5曲线，即，第14页，共20页

,𝜋𝜋𝑥𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋，得𝜋𝑥𝜋，,𝜋𝜋𝑥𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋，得𝜋𝑥𝜋，𝜋𝑥𝑘𝜋𝜋5𝜋故与之间的距离√

圆心，半径为1的圆2√．所以与之间的最小距离

．因为

𝜋6

，所以

,，，此时，夹角余弦

8

，与

方向相同的单位向量

)所以

上的投影向量(

16【解析】本题考查平面向量的坐标运算，二倍角公式，复数的相关概念及运算，属于中档题．先向量数量积的坐标运算结合二倍角公式化简，得·=，得，在化简复数．复加减需要实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，求模长．𝜃

𝜋6

，所以

,，，出夹角余弦.再向相同的单位向量，根据投影向量公式计算即可．19.

【答案】解：

6𝑥)𝑥𝑥66𝑥𝑥6𝑥−𝑥66

，所以𝑥)最小正周期

𝜋

，由

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋所以𝑥)单调递增区间为

𝜋,𝜋](，第15页，共20页

𝜋𝜋𝜋55𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋，所以𝜋84𝜋𝜋𝜋55𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋，所以𝜋843

，因为𝜋，以

𝜋，333所以当

𝜋𝜋3

，即当时，恰为(的大值，(3)3

4sin)cos66)+cos66

4tan66

，因为tan

𝜋4tan)6tan6

55

．【解析】本题主要考查正弦函数的图象与性质，函的象与性质，以及三角函数的化简和求值问题，属于中档题．先用二倍角公式和辅助角公式对函进化简，再根据正弦函数的图象与性质求解即可；由弦函数的性质即可求解；先二倍角公式和同角三角函数中的平方和关系对函(进化简，再结合题意求值即可．20.

【答案】解由意𝑐cos，据弦定理，可得𝐴，𝐵cos𝐶cos即，即．因为𝜋𝜋，以，．所以cos−cos(𝐵+−cos2𝐵，

由余弦定理知，

解得3，因为c−cos=

在中，因为，以第16页，共20页

√×2×√×2×所以5又因为

所以

5【解析】本题考查正，余弦定理，面积公式，三角函数的和差公式，二倍角公式等，属于中档．利正弦定理𝐴，三角形中𝐴𝐵，简即可．由弦定理知，是键．21.

【答案解：由

线段上近的等分点由线段的点因为所以

𝐷为线上点，则

)(⋅4因为CD线经过

的垂心，所以，即⋅

第17页，共20页

𝜋3,𝜋3,因为′′，′与′5所以

⋅×236解得

34所以364因为

以

4

．【解析】本题主要考查向量的基本定理、向量的