2020-2021学年沈阳市郊联体高二下学期期中数学试卷

772020-2021年沈阳市郊联体高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题共60.0分）

若复数z，|

B.

C.

D.

已知向，，若则(

B.

C.

D.

某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：我不会证明．乙：丙会证明．丙：丁会证明．丁：我不会证明．根据以上条件，可以判定会证明此题的人是

甲

B.

乙

C.

丙

D.

丁

已知，，(0，且与

垂直，则k的为

B.

C.

D.

7

用反证法证明命题：a可除，那么ab中少有一个能被5整”时，假设的内容应C.

，能被除，不都被除

B.D.

，都能被除能被除

用数学归纳法证明不等式成，初始至少应

B.

C.

D.

已知x、y是上两个随机数，则到的离小于其到直的离的概率为

B.

C.

7

D.

若函数({

𝑥

的最大值为(，实数的值范围为

𝑒]

B.

C.

,

D.

设((𝑛计算可

.观上述结果，可得出的一般结论

111111111111

𝑛

B.

𝑛C.

D.

已点

线：

恒过定点B为线C上的动点且

的最小值为2则

B.

−1

C.

D.

若数

的图像在

上恰有一个极大值和一个极小值

的取值范围是B.D.已是数的函数且对任意的实数x

自然对数的底数若不等的集中恰有两整数则数k的值范围)

1

,

B.

,2

C.

,2

D.

,2二、单空题（本大题共4小题，20.0分若数满，的值范围_．1,(−1已函{，,1)

(𝑥．如正棱111

的各条棱长都相等是棱的中点，则异面直线和BM成的角的大小是___________．已函

𝑥于任在，1使得(

成，则实数取值范围．1三、解答题（本大题共6小题，70.0分设数(1)

𝑙，．若线在1,的切线与直线1直，求a值；求数的单调区间．

如锥中底面为梯形，且，棱上动点．Ⅰ当平时确定点E在上位置；Ⅱ在Ⅰ的件下，求二面角余值．已函

，且，为自然对数的底的导函数为．求(的单调区间；设线上任意一点的切线的倾斜角，时，求的值范围；若，

，求函数(的点个数．

如已eq\o\ac(△,)直角三角形为角以AC为径作半圆使半圆O所平面平面ABC半圆周异于A，的任意一点．证：平若，，圆O，平面与平面所锐二面的余弦值．已函2，𝑙常，当恒成立，求实数的值范围；若数有称中心，证：函的线切点处穿过图的充要条件是恰为函数在点处的切线直穿过曲线是指：直线曲线有交点，且在交点左右附近曲线在直线异侧

当数m取值时，复平面内表示复的．位第四象限？位第一、三象限？位直上

．．，，【答案与析】1.

答：解：：𝑖，得

，𝑖，则√5故选：．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.

答：D解：：向，

，则+𝑏又向量=，)所以，得．故选：D根据平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出的．本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理应用问题，是基础题．3.

答：A解：：四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．丙丁会证明．丁：我不会证明．所以丙与丁中一定有一个是正确的；若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个，符合题意；以此类推．易得出答案．故选：A．由题意可知，丁会证明．丁不会证明．两者之间，必有一个正确，所以判断丙与丁的正误即可本题考查合情推理的方法，是基本知识的考查．

774.

答：D解：：已知，，0，(，2，与−𝑏故选：D

垂直，(，得

，5先求出和−𝑏

的坐标，根

与−𝑏

垂直，可得𝑏)

，由此解得k的．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5.

答：B解：题分析：要证明的结论，b至少有一个能被除的反面是，b不能被除，因此应该假设，b都能被除考点：反证法点评：反证法求解证明题的步骤：假设要证明的结论的反面成立，从假设出发得到矛盾，否定设肯定原结论成立6.

答：解：：时左边，边；时左边，边，时左，边；时，左初值至少应取3

1256

，右边，故选：．将入计算，即可得出结论．本题主要考查数学归纳法，起始值的验证，求解的关键是发现左边的规律，从而解决问题．7.

答：D解：本题考查几何概型，考查面积的计算，确定平面区域是关键．以面积为测度，确定所示的平面区域，求

在

阴影部分的面积′阴影部分的面积′32−2√−𝑥正方形内的区域的面积，即可求概率．解：如图所示，正方形的面积，因为点到的离小于其到直线的离所以√

22，21112

，所以所求概率为．12故选：D8.答案C解：本题考查分段函数的最值，注意运用导数判断单调性、极值和最值，考查分类讨论思想和化简算能力、推理能力，属于中档题．由基本不等式求时，的值域，由意可时，的域应该包含时值域内，讨论，，的值域，注意运用导数判断单调性和极值、最．解：当时

，当且仅时取等号，则取最值，由题意可得时𝑥的域包含𝑎，因为

，当时，，在递，，不成立；当时

时，在递减，时，，递，可得在

处得极大值，且为最大，则3，解得𝑒

；若，，在递减，可−2，即成立．综上可得，a的围[故选：．

𝑒

,．

559.

答：解：本题考查了合情推理归、类比推理．把已知的式子可化为

3

32

4

42

5

52

利用归纳推理得

𝑛

𝑛2

．解：已知式(4)，

，，𝑓(32)

7

，可化为

，

32

，

45

4252

，，以此类推，可得故选C．10.答：D解解线则由于

𝑛

𝑛2在

．恒过B令得点上有最小值2且，故是(的值点，即最小值点，

′，′，，，，

恒成立，在

上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意当，即故选

数在减函数解得

是增函数以有最小值为，11.答：D解试题分析数

的图像在

上恰有一个极大值和一个极小值，

，

．考点：三角函数图像函数的极值．12.

答：解：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及方程与不等式的解法、构造方法，考查了推理力与计算能力，属于难题．令可𝑥

𝑥

可设(解得

𝑒

，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．解：令(，𝑥

′

𝑥

可设(

，．

𝑒

，(

𝑒

𝑒

．可得：时函取极大值时，函数取得极小值．

𝑒23

．

2

时不等式(解集中恰有两个整，．

1，1𝜋11𝜋又1)，21，1𝜋11𝜋又1)，222111𝜋1𝜋故k的值范围故选：．

,．213.

答：13]解：：满2的z在原点为圆心，以2为径的圆上，图，则的表示圆上的点距离象可知，当点在E，G处小，最小为当点在D，处大，最大2222则的取值范围，故答案为：复数z满|2以点为圆心半径的圆的示圆上的点和的离，结图形可求．本题考查了复数模的求法，考查了复数模的几何意义，体现了数形结合的解题思想方法，是基题14.答案2解：：根定积分的几何意义211

2就等于单位圆的面积的四分之，(√1224

．故答案为：2

．根据微积分基本定理求出即可．本题主要考查了微积分基本定理和定积分的几何意义，属于基础题．15.

答：

2时在处取最小值2时在处取最小值；81解：立如图所示的坐标系O为中点设三棱柱的棱长为a则(

，，，，1

，所以异面直线1

与所的角．16.答：解：：函数12

−1)(2

，若，，为函数；若，或，为减函数；在上极值，在处极小值也是最小−1；𝑚

𝑥

，对称轴，，8当

时，在处最小值；𝑚当

2𝑚当

时，在上减函数828；𝑚对意，，，1只要的小值大于等的小值即可，当时，，得，故b无；当

时，，得，综上：，故答案为：．首先对(进求导用导数研究函数的最值问题题意对任

，

121时，的个根为222111112当时121时，的个根为222111112当时由，得：或1，,使，要的小值大于等的小值即可，的象进行讨论根据对称轴研究(的值问题，从而进行求解．本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区上最大值与最小值是通过比函数在内有极值与端点函，较而得到的，此题还涉及函数的恒成立问题，注意问题最终转化为求函数的最值问题上．17.答：：函的义，

2

2

2𝑎

，曲线在点1,𝑓(1))处切线与直线垂，2．由

2

，所以令(2

2

，，当eq\o\ac(△,)，

时，，而，2故函数(在上单调递增；当eq\o\ac(△,)，即

11121

，

122

，2当

121，即时，，当

时2

．当时，{，，2由

，得：，2此函在

122

上单调递减，在

√122

,上调递增；由

11212212，得22

，此函在

1122

和

122

,上调递增，在

11222

上调递减．

𝜋,′′𝜋,′′′121233解：求函数的导数计，出a的值即可；求出函数的导数，通过讨论范围，求出函数的单调区间即可．本题考查了切线方差问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一中档题．18.答：：在梯形中由，，得又𝐶，eq\o\ac(△,)𝐷为等腰直角三角形．4．

𝜋4

，连接BD交AC于，则=2平EAC，又平面平，𝑀，在中，即时平EACⅡ以A为点AB，所直线分别为y轴z轴，在平面ACD中过CD的垂线为x轴建立如图所示空间直角坐标系．设，则0，，，，，，

33设，平面一个法向量，则，

{

𝑦33

，解得，，(,,．设,,为面的一个法向量，则

又，，

，{，解得′，，

1，

6

，二角−𝐶的余弦值为．6

33解：以面行为条，根据线面平行的性质得到线线平行，根据平行线分线段成比例定理，得到比值．以原点ABAP所直线分别为轴轴建立空间直角坐标系出要用的点的坐标，设出并求出平面的法向量，根据向量所成的角，得到二面角的余弦值．本题考查空间向量求二面角以及直线与平面的位置关系的证明，本题的第一小题主要应用线面行为条件，这种逆向思维的题目出现的比较多，本题第二小题解题的关键是建立坐标系，把难度较大的二面角的求法，转化成了数字的运算．降低了难度．19.答：：当时，的调递增区间为，的单调递减区间，当时，的调递增区间，的调减区间；曲上意一点的切线的斜𝑥⋅

，令，则𝑒

⋅，由，得，列表如下：x

所以

𝑚𝑛

，当时，，所以[，又因为𝑎𝑛𝛼且，所以的值范围

,4

；解13

，从而

，，则，由，得列表如下：x

所以

𝑚𝑛

𝑛6)𝑛6)，𝑚𝑛且当及时，以有只有两个零点，又

3

3

，所以，的个零，满足结合的图象可得如下表格，

，

11𝑥2211𝑥22x

𝑥

,12

,2

所以，的大值

1，小值为(𝑔(2)212，2且当及时可出(的致图象从而，在R上且只有三个零点．解法：验证知，的点不为零，由(

，2令

𝑥2

，则

𝑥

−2)3

，由，得，列表如下：x

(0,2)

所以，的小值为(2)

4

，又恒成立，4

且当时，

2

，

，所，当时

2

1，所，当时，

2

，

，

的增长速度远远大于

2

的增长速度，所以，从而，作出的致图象如下：由图知的象与直有个交点，

从而，在R上且有三个零点．解：利函数的导数在上成立，在上是增函数的集与定义域的交集的对应区间为增区间；若在上成立，则(在上是减函数，的集与定义域的交集的对应区间为减区间．利可导函数在某点处的导数是该点处切线的斜率k，𝑒

，通过求函

值域，从而求得斜率的围，在由𝑎，求的值范围．通，到函数的单调性求出函数的最极值的正负，从而得到函数与轴的交点个数，也就是零点个数．本题第问考查了函数的导的负与函数单调性关系，考了导函的几何意义，第问通过求出函数的最值极)，过函数草图得到函数与轴的交点个数也就是零点个数，属于中档题．20.答：证：为周上一点AC为径是角，又平，半圆O所平平面ABC，平面平，平PAC，又平面PAC，，而PC平PBC，，平面PBC．解取AB中D，中E，连结OD，，D分为AC中，，又根据平面，平PAC，半O的弦，根据垂径定理得，，以为点OD为x轴，OCy轴OEz轴建立空间直角坐标系，，0，，，，，

3即时，时，′(3即时，时，′(在间1，，，，,，,222与同理证平面QBC

，,322

是平面QBC的个法向量，设平面PAB的个法向量为，则

，222

，

2

2

，取，，设平面PAB与面所成锐二面角为，则

|

3√33223×7

7

．平PAB与面

成锐二面角的余弦值为．7解：由的性质得，由是直角，得𝐶，而得平，此能证明平面．取AB中D，中，连结OD，，以O为点，OD为x轴OC为y，OE为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAB与面QCB所锐二面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量的合理运用．21.

答：：设(

2

𝑙，

′

𝑎+2)]

，令：

′

得𝑥𝑥

2

，当2即时𝐹′(，在𝑥是函数，小值为，足．2当

22

时，′(，上为减函数，在区间,上增函数，22最值，不合题意．2实a的值范围是：；(2)，于对，是函数，，得，

，按照极值，按照极值

3

2

，

2

，若L为A点的切线，则切线L的率为，由点式可得其方程为，令(

3

2

3，3

2

3−

2

，为函数，