山东省青岛市第二高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析

山东省青岛市第二高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)为同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则f(x)的“友好点对”有（

）个.A．0

B．1

C．2

D．4参考答案：C2.设全集,集合M,则的值为A.2或

B.或

C.或8

D.2或8参考答案：D3.下列四个选项给出的条件中，能唯一确定四面体ABCD的是

A．四面体ABCD三对对棱（即没有公共顶点的棱）分别相等，长度分别是1cm，2cm,3cm

B．四面体ABCD有五条棱长都是1cm

C．四面体ABCD内切球的半径是1cm

D．四面体ABCD外接球的半径是1cm参考答案：A4.对任意非零实数，若的运算原理如右图程序框图所示，则=________。参考答案：略5.设，，，则，，的大小关系为（

）．

A． B． C． D．参考答案：A解：∵，，，∴．

故选．6.四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，l尺=10寸，斛为容积单位，l斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底圆周长约为（）A．l丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺参考答案：B【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据圆柱的体积和高计算出圆柱的底面周长，从而求出圆周的底面周长．【解答】解：由题意得，圆柱形谷仓底面半径为r尺，谷仓高h=尺．于是谷仓的体积V==2000×1.62．解得r≈9．∴圆柱圆的周面周长为2πr≈54尺．故选B．【点评】本题考查了圆柱的体积计算，注意单位换算，属于基础题．8.若,则下列不等式成立的是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D因为指数函数在定义域内单调递减，又，所以.故D项正确.9.给出两个命题：：的充要条件是为非负实数；：奇函数的图像一定关于原点对称，则假命题是A．或Ｂ．且

C．﹁且

D．﹁或参考答案：C10.设向量，，定义一运算：,已知，。点Q在的图像上运动，且满足（其中O为坐标原点），则的最大值及最小正周期分别是（

） A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若

，则实数的取值范围是

.参考答案：12.《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则的值为，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进―尺，以后每天减半，如果墙足够厚，为前天两只老鼠打洞之和，则

尺．参考答案：试题分析：由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以为首项,以为公比的等比数列,前天打洞之和为,同理,小老鼠每天打洞的距离为,所以,因此,本题正确答案是.考点：等比数列求和.【思路点晴】解答函数应用题的一般步骤为:?审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型；?建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型；?求模:求解数学模型,得出数学结论；④还原:将数学问题还原为实际问题的意义,求最值常用基本不等式或导数.13.函数f（x）=的最小正周期是

．参考答案：π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用行列式的运算，同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）==sin2x﹣4cos2x=1﹣5cos2x=1﹣5?=﹣﹣cos2x的最小正周期是=π，故答案为：π．14.设，在约束条件下，目标函数的最大值为，则所取的值为

参考答案：；15.下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在，,的人数依次为、、……、．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输出的

．（用数字作答）参考答案：6000略16.设计算法，输出1000以内能被3和5整除的所有正整数，已知算法流程图如右图，请填写空余部分：①_________；②__________.参考答案：①a=15n；②n>66略17.定义在正整数集上的函数满足（1）；（2），则有

参考答案：(2分)（3分）

注意到和，易求得；因为，所以故有三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．参考答案：【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数关系将f（x）=4cosxsin（x+）﹣1转化为f（x）=2sin（2x+），即可求得f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+），x∈[﹣，]，利用正弦函数的单调性质即可求其的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1=4cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，﹣1≤2sin（2x+）≤2．∴f（x）max=2，f（x）min=﹣1．19.（本题满分14分）已知数列、

满足，，。（I）求证数列为等差数列，并写出数列的通项公式；（II）若数列的前项和为，设，求证：。参考答案：（本题满分14分）解：（I）由得

代入，

得，整理得。∵，否则，与

矛盾。从而得，∵

∴数列

是首项为1，公差为1的等差数列。∴，即．---------------------------------7分（II）∵，∴＝＝。证法1：∵

＝

＝∴．------------------------------------------14分证法2：∵，∴，∴。∴．--------------------------------------14分略20.（本题满分14分）已知函数f(x)对任意x，y∈R，满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋2，当x>0时，f(x)>2.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)当f(3)＝5时，解不等式f(a2－2a－2)<3.参考答案：解：(1)证明：设x1<x2，则x2－x1>0，···············1∵当x>0时，f(x)>2∴f(x2－x1)>2

·····························2∵f(x＋y)=f(x)＋f(y)-2，∴f(x2)-f(x1)=f[(x2－x1)＋x1]-2-f(x1)=f(x2－x1)＋f(x1)-2-f(x1)=f(x2－x1)-2>2-2=0∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函数．

································7(2)由题意知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－2.∴5＝f(3)＝f(1＋2)＝f(2)＋f(1)－2

＝f(1)＋f(1)－2＋f(1)－2＝3f(1)－4.∴f(1)＝3.

····························9∴不等式f(a2－2a－2)<3等价于f(a2－2a－2)<f(1)．

·····························10又f(x)在R上为增函数，∴a2－2a－2<1

·················11即a2－2a－3<0，∴－1<a<3.

····················13即原不等式的解集为{a|－1<a<3}．

·····················1421.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．参考答案：(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解，得∴a>，即实数a的取值范围是(，＋∞)．(2)当a＝0时，方程只有一解，方程的解为x＝；当a≠0时，应有Δ＝0，∴a＝，此时方程有两个相等的实数根，A中只有一个元素，∴当a＝0或a＝时，A中只有一个元素，分别是和．(3)A中至多有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素两种情况，根据