高二数学必修五导学案：3.4.1基本不等式（第1学时）

3．4．1基本不等式（第1课时）32**学习目标**1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程,会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义,并掌握基本不等式中取等号的条件是:当且仅当这两个数相等.**要点精讲**1．基本不等式：()，即：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号成立．注：上述不等式对a≥0,b≥０时仍成立。2．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．a≥0,b≥03．基本不等式的变形公式：（1）（）；（2）；（3）；（4）；（5）。新课标第一网4．基本不等式的推广：n个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若ai≥0(i=1,2,…,n),则(n>1,nN)；**范例分析**例1．（1）如图,已知在正方形ABCD中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为a、b,则正方形ABCD的面积为S1=________,4个直角三角形面积的和为S2=________,则S1_______S2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a、b的式子表示),并且当a______b时,直角三角形变为________时,S1=S2.（2）已知，求证：，你能解释（）的几何意义吗？例2.利用基本不等式证明下列不等式：已知a>0,求证a+；已知a>3,求证a+；例3.(1).已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:((2).已知，求证：。例4．（1）已知为任意实数，求证：a2+b2+c2ab+bc+ca；（2）已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥。４．已知a,b,c不全相等的三个正数,且abc=1,求证:注意：利用基本不等式证明时要交代等号为何不能成立．规律总结1．均值不等式（不等式链）：若，则。其中，分别称为正数的调和平均数（H）、几何平均数（G）、算术平均数（A）、平方平均数（P），即有。基本功能有：（1），将平方和与两数和互化；（2），将和与积互化；wWw.xKb1.coM（3），将和与倒数和互化；（4）重要变形：，其中为正数。2．学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．3．均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；用均值不等式证明时，为达到目标可先宏观，后微观；均值不等式和不等式的基本性质的联合运用是证明不等式行之有效的方法。**基础训练**一、选择题1．下面推导“”中所犯的错误是（）没有考虑等号成立的条件没有考虑的值应当非负的限制没有考虑而不能开方的情况没有考虑是可以开方的条件2．若a>1,b>1则a+b,2ab,2,中最大的一个是（）Aa+b,B2ab,C2,D3．设则以下不等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．4．如果正数满足，那么（）Ａ．，且等号成立时的取值唯一Ｂ．，且等号成立时的取值唯一Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一5．已知x,yR，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是（）A、MN B、MN C、M=N D、不能确定二、填空题6．比较大小：1；7．已知，且，将下列五个数按从大到小顺序排列是。8．有一组数据：，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的，余下数据的算术平均值为11。则关于n的表达式为___________；关于n的表达式为___________。三、解答题9．证明：（1）若，则。（2）已知，求证：。10．（1）已知，求证：；（2）已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:。.四、能力提高11．若a、b是正数，则、、、这四个数的大小顺序是（）A.≤≤≤B.≤≤≤C.≤≤≤D.≤≤≤12．已知，，求证：。3．4．1基本不等式例1．解：（1），，由知，，当且仅当时等号成立；（2）见要点精讲。例2.（1）因为，所以，当且仅当时等号成立；（2）因为，所以；当且仅当，即时等号成立；X|k|B|1.c|O|m例3.（1）因为是互不相等的正数，且x+y+z=1，所以……①……②……③三式相乘得。（2）证明：因为，所以，。例4．证明：（1）因为，得证。或，，，三式相加得证。（2）方法1：，所以a2+b2+c2≥，当且仅当时等号成立；方法2：因为，所以，当且仅当时等号成立；**参考答案**1~5BDBAA；5．提示：；6．；7．；8．。9．证明：（1），，相加得证。（2）证明：，，，相加得证。10．（1）因为，所以，同理，，，相加得证。（2）提示：。11．C；提示：方法1，特殊赋值，令a=1，b=2，