山东省青岛市潢川县高级中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析

山东省青岛市潢川县高级中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，，则与夹角的余弦值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.

等于A、

B、

C、

D、不存在参考答案：答案：B解析：1：∵

故：选B；

解2：∵

故：选B；

3.某几何体的三视图如下，则它的表面积为……………（

）A.

B.C.

D.参考答案：A略4.若的展开式中含有常数项，则的最小值等于

A.

B.

C.

D.参考答案：C

【知识点】二项式系数的性质．J3

解析：由题意，（x6）n的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr，令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：C．【思路点拨】二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值．5.集合A={x∈N|x2﹣4x﹣5＜0}，B={x|log2（x﹣2）≤1}，则A∩B=（）A．（﹣1，4] B．（2，4] C．（3，4） D．{3，4}参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】解不等式得集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x∈N|x2﹣4x﹣5＜0}={x∈N|﹣1＜x＜5}={0，1，2，3，4}，B={x|log2（x﹣2）≤1}={x|0＜x﹣2≤2}={x|2＜x≤4}，∴A∩B={3，4}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．6.某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110 B．100 C．90 D．80参考答案：B【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据分层抽样的定义求出C抽取的人数，利用甲、乙二人均被抽到的概率是，直接进行计算即可【解答】解：∵按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，∴从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C组数为×20=2，设C组总数为m，则甲、乙二人均被抽到的概率为==，即m（m﹣1）=90，解得m=10．设总体中员工总数为x，则由==，可得x=100，故选：B．7.若，是任意实数，且，则 A． B．

C． D．参考答案：D略8.不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为()A．{x|1≤x≤2}

B．{x|x≤1或x≥2}

C．{x|1<x<2}

D．{x|x<1或x>2}参考答案：A由(x－1)(2－x)≥0可知(x－2)(x－1)≤0，所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}．9.已知函数，若，则的取值范围是 A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，） B．[，） C．[，） D．[4π，6π）参考答案：C【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则∥；②若外的一条直线与内的一条直线平行，则∥；③设，若内有一条直线垂直于，则；④直线的充要条件是与内的两条直线垂直.其中所有的真命题的序号是

.参考答案：12.设函数f（x）=，若f（a）＞a，则实数a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（a）=，∵f（a）＞a，∴或解得：a＞1或a＜﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了分段函数的不等式的求解，主要分段函数各自的定义域范围．属于基础题．13.已知非零向量满足，，则与的夹角的余弦值为

．参考答案：∵，∴，即∴，即∴故答案为

14.（5分）已知P是椭圆上一点，若，则|PF1||PF2|=．参考答案：4∵P是椭圆上一点，∴|PF1|+|PF2|=4，两边平方，得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16，①在△F1PF2中，∵|F1F2|=2，，∴由余弦定理，得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=4，即|PF1|2+|PF2|2﹣|PF1||PF2|=4，②①﹣②，得：3|PF1||PF2|=12，∴|PF1||PF2|=4．故答案为：4．15.已知函数在上恒正，则实数的取值范围是

参考答案：【知识点】指数函数

复合函数的单调性

B6

B3设，需满足，即，因为，所以，从而，可得函数的对称轴为，从而函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，所以，当时，函数在上单调递减，所以，即为，故答案为.【思路点拨】因为函数在上有意义，所以满足，求得，而可得函数的对称轴为，从而函数在上单调递增，然后利用复合函数同增异减对进行分类讨论，可得结果.16.设等比数列的公比为q＝2，前n项和为，则＝_____________。参考答案：略17.设，，…，是1，2，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为_________

___（结果用数字表示）．参考答案：144略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆与轴的上半轴交于点，与轴的右半轴交于点,椭圆的左、右焦点为，且

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线，斜率为，与椭圆交于两点.若的中点为，且存在非零实数，使得，求出斜率的值；

在轴上是否存在点，使得以为邻边的四边形是个菱形？若存在求出的范围，若不存在，请说明理由.参考答案：(1)抛物线的焦点为(1,0),∴椭圆的焦点.设短半轴长,长半轴长,因为∴,∴椭圆的标准方程为

(2)由题意设直线的方程为,他与椭圆交于两点,则

的中点又,解得19.如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取AB的中点O，连结EO、CO，由已知得△ABC是等边三角形，由此能证明平面EAB⊥平面ABCD．（II）VE﹣ABCD=，由此能求出四棱锥E﹣ABCD的体积．解答： （I）证明：取AB的中点O，连结EO、CO．由AE=BE=，知△AEB为等腰直角三角形．故EO⊥AB，EO=1，又AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是等边三角形，从而CO=．又因为EC=2，所以EC2=EO2+CO2，所以EO⊥CO．又EO⊥AB，CO∩AB=O，因此EO⊥平面ABCD．又EO?平面EAB，故平面EAB⊥平面ABCD．…（II）解：VE﹣ABCD===．…点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.（本小题满分12分）已知函数的部分图象如图所示。（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；(2)△ABC的内角分别是A，B，C，若f（A）＝1，cosB＝，求sinC的值。

参考答案：由图象可得的单调减区间为.

……6分21.（本小题满分12分）如图，在边长为a的正方体中，M、N、P、Q分别为AD、CD、、的中点．（1）求点P到平面MNQ的距离；（2）求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值．

参考答案：方法1（几何法）：∵平面，∴点P到平面MNQ的距离等于点B到平面MNQ的距离．设．∵平面MNQ平面ABCD，∴由得平面MNQ，∴点P到平面MNQ的距离为．（2）设点N到平面MNQ的距离为d．可以求得，∴．．由得，∴．设直线PN与平面MPQ所成的角为，则．故直线PN与平面MPQ所成的角的正弦值为．方法2（空间向量方法）

建立如图所示的空间直角坐标系．（1）是平面MNQ的一个法向量．∵，∴点P到平面MNQ的距离．（2）设平面MPQ的一个法向量为．．由得得∴．．．设直线PN与平面MPQ所成的角为，则．22.（本小题满分12分）

已知函数．（1）求的值；（2）求子啊区