CH3-2~CH3-3连续周期信号的傅里叶级数和傅里叶变换

3.2LTI系统对复指数信号的响应

复指数信号tt2/4/20231LTI系统对复指数信号的响应由拉普拉斯变换的定义：h(t)的拉普拉斯变换H(s)2/4/20232与输入信号形式相同2/4/202333.3连续时间周期信号的傅里叶级数和傅里叶变换周期信号2/4/20234直流信号——特殊的周期信号任何周期函数，只要满足Dirichlet条件，就可展成傅里叶级数。2/4/20235指数形式傅里叶级数连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为:其中两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量物理含义：

周期信号下x(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和

2/4/20236周期信号展成“指数形式”的傅里叶级数周期信号展成“指数形式”的傅里叶级数中的加权系数—傅里叶级数的谱系数：表示：任意一个周期内的积分！2/4/20237幅值间的关系相角间的关系2/4/20238三角函数形式傅里叶级数先写为若将“指数形式”的傅里叶级数2/4/20239周期信号的“幅值—相位形式”周期信号x(t)的：直流分量周期信号x(t)的：第k次谐波分量幅值相位2/4/202310三角函数形式傅里叶级数2/4/202311将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合

从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。

从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。

意义：2/4/2023122/4/2023132/4/2023142/4/2023152/4/2023162/4/202317周期信号的频谱及其特点1.

频谱的概念

周期信号x(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和ak是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。

不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数ak不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。2/4/2023182.

频谱的表示

直接画出信号各次谐波对应的ak离散线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。幅度频谱相位频谱2/4/202319例1周期矩形脉冲信号的频谱图

2/4/202320例2已知连续周期信号的频谱如图，试写出实数形式的Fourier级数。解：由图可知2/4/202321频谱的特性1)离散频谱特性周期信号的频谱是由间隔为0

的谱线组成的。信号周期T越大，0就越小，则谱线越密。反之，T越小，0越大，谱线则越疏。0t------02/4/2023222)幅度衰减特性当周期信号的幅度频谱随着谐波k0增大时，幅度频谱|ak|不断衰减，并最终趋于零。若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。

x(t)不连续时，ak按1/k的速度衰减

x’(t)不连续时，ak按1/k2的速度衰减2/4/2023233)信号的有效带宽

0~2/

这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。即

越大，其ΩB越小；反之，越小，其