机械振动演示

[1-1]机械(jīxiè)动力学第二章振动(zhèndòng)分析基础精品资料第二章振动分析(fēnxī)基础§2－1概述

振动(zhèndòng)分析的研究思路：一·动力学模型

●任何实际的振动系统是无限复杂的,为了便于分析,要作简化,在简化的基础上建立动力学模型

●模型由三种理想化元件组成：质量m阻尼c弹性k

●系统简化的程度取决于考虑问题的复杂程度、计算精度、计算条件

●实际结构两种简化处理方式：对实际结构质量、刚度、阻尼线性化处理

对其分布规律作离散化处理

●动力学模型采用的正确与否要由实践检验

●动力学模型分三类：a集中参数模型(常微分方程)b有限元模型(常微分方程)c连续弹性体模型(偏微分方程)[1-18]精品资料1·弹性元件：只有弹性,无惯性、阻尼(理想化元件)●弹簧所受外力Fx是位移x的函数：Fx=f(x)●在线性范围内Fx=kx(对弹簧的线性化处理)●通常假定弹簧没有(méiyǒu)质量若：弹簧质量相对小,可忽略弹簧质量相对较大,一定要处理●实际工程结构中许多构件在一定(yīdìng)范围内所受作用力与变形是线性关系,可作线性弹性元件处理.例图示悬臂梁根据材力P与变形δ的关系杆长E材料弹性模量I抗弯截面惯性矩

设则P=kδ

因此悬臂梁相当一个刚度为的线性弹簧[1-19]精品资料●角振动系统：弹簧为扭转弹簧M=kθM外力矩θ转角k刚度扭振系统G轴材料剪切模量J轴截面极惯性矩M扭矩因此扭转刚度：●从能量角度(jiǎodù)：不消耗能量,以势能方式贮存能量.

●等效刚度：复杂弹性元件组合形式,可用等效弹簧取代等效弹簧的刚度用等效刚度表示(等于组合弹簧的刚度)并联弹簧：比各组成弹簧”硬”共位移

串联弹簧：比各组成弹簧”软”共力

确定(quèdìng)弹性元件组合方式是”并联”还是”串联”关键看是”共位移”还是”共力”[1-20]精品资料见下例：例1a.两弹簧共位移(wèiyí)(x)并联

b.两弹簧共力(Fs)串联

例2

确定阶梯轴的等效扭转刚度

解共力矩M，为串联

由扭振2．阻尼元件(yuánjiàn):只有阻尼无惯性,弹性(理想元件(yuánjiàn))●振动系统的阻尼特性及模型是振动分析最困难问题之一,也是最活跃的研究方向之一●阻尼力是振动速度的函数对线性阻尼器C:阻尼系数●阻尼元件(yuánjiàn)消耗能量以热能声能等方式耗散系统的机械能●角振动系统:有以上类似关系为阻尼力矩[1-21]例1

(a)(b)例2精品资料●非粘性阻尼:与速度成正比的阻尼为粘性(Viscous)阻尼,又称线性阻尼

其它性质的阻尼统称非粘性阻尼工程中将非粘性阻尼折算成等效粘性阻尼系数Ceq

○折算原则:一个振动周期内非粘性阻尼所消耗的能量等于等效粘性阻尼一周期所消耗的能量

○非粘性阻尼种类：

a.

库仑(Coulemb)阻尼即干磨擦阻尼

b.

流体阻尼:物体(wùtǐ)以较大速度在粘性很小的流体(空气液体)中运动.阻尼力与速度平方成正比:

c.

结构阻尼：材料内磨擦产生的阻尼(又称材料阻尼)

由结构各部件连接面之间相对滑移而产生的阻尼:滑移阻尼结构阻尼=材料阻尼+滑移阻尼(两项统称)

3.质量元件只有惯性无弹性和阻尼的理想元件.(略)

[1-22]精品资料.

二.动力学模型的建立举例说明:南京工学院(东南大学)为无锡机床厂外园磨床作振动(zhèndòng)分析:[1-23]精品资料§2—2单自由度系统(xìtǒng)一.自由振动

自由振动的基本振动特性只决定系统本身的参数,因此是在理论上十分(shífēn)重要的一

种振动形式.系统自由振动所表现出的一些规律能反映出系统本身的一些”固有特

性”或”固有参数”.反映了系统内部结构的所有信息,是研究强迫振动的基础.单自由度自由振动概述

当外界对系统没有持续的激励即F(t)=0但系统仍可以在初速度或初位移的作用下发生振动,称为自由振动

其运动微分方程为:二阶常系数齐次微分方程,方程还可

其中（衰减系数）

（固有频率）

方程特征方程

通解其中:

为特征方程的二个特征根为积分常数,由初始条件定[1-24]精品资料系统的运动情况(qíngkuàng)随α(衰减系数)不同值,分五种情况(qíngkuàng)：

(1)α=0(无阻尼情况(qíngkuàng))α＞0(正阻尼(zǔní)情况)(2)α＜(弱阻尼(zǔní)情况)

(3)α＞(强阻尼(zǔní)情况)

(4)α=(临界阻尼(zǔní)情况)(5)α＜0(负阻尼情况)

首先从无阻尼情况(最简单)介绍2.无阻尼系统的自由振动

运动方程为（C=0,F(t)=0）

或式中

其通解:x(t)=Asin(t+φ)是系统自由振动的角频率,也称为系统无阻尼固有频率单位:Hz或1/sA振动幅值φ初相角(由初始条件确定)[1-25]精品资料若记初始位移初始速度

则因

当t=0时

得

分析(fēnxī)：●单自由度无阻尼系统的自由振动是正弦或余弦函数,可用谐波函数表示,故称简谐振动●自由振动的角频率即为仅由系统本身参数确定,与外界激励,初始条件均无关.反映(fǎnyìng)了系统内在的特征.●自由振动的振幅A和初相角由初始条件确定●无阻尼自由振动是等幅振动研究无阻尼自由振动时,常用到“能量法”[1-26]精品资料3.能量(néngliàng)法：(1)

用能量的观点研究振动有时很方便.例只需计算系统固有频率时,可避免写微分方程,直接得结果.(也可用能量法写系统微分方程)

在无阻尼又无外作用力时,系统的动量T和势能U是守恒的.即

T+U=恒量(2--1)

对上式时间取一次导数：

（2--2）

式中:T为系统中运动质量所具有的动能

U为系统的弹性势能或重力势能

由(2--1)式,有：任意选两个瞬时(shùnshí)位置1和2机械能总和应相等

对简谐振动：通常选质量块经过平衡位置为第一瞬时(shùnshí)位置,此时速度最大,动能此时

再选质量块达最大位移时为第二瞬时(shùnshí)位置,此时速度为0,

而势能（2--3）

利用(2--3)式可直接得系统固有频率[1-27]精品资料例如图测量低频振幅用的传感器中的一个(yīɡè)元件—无定向摆的示意图,摆轮2上铰接一摇杆1,摇杆另一端有敏感质量M，在摇杆离转轴0距离为a处左右各联一刚度为k的平衡(pínghéng)弹簧,以保持摆的垂直方向的稳定位置.已知系统对0的转动惯量为解：以摇杆偏离平衡(pínghéng)位置的角位移θ为参数并设:则摇杆通过静平衡(pínghéng)位置时系统动能最大在摇杆摆到最大角位移处时系统最大势能包括两部分:弹性变形后储存的弹性势能:质量块m的重心下降后重力势能:由于

得:[1-28]精品资料（2）能量法求系统振动微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)

例图示一半径为r,重量为w的园柱体在一个半径为R的园柱面内作无滑动

的滚动,在园柱面最低位置0点左右微摆动.推导园柱体摆动的微分方程(wēifēnfānɡchénɡ).解:园柱体有两种运动:

·园柱体质心的线位移(R－r)θ,线速度为

·园柱体绕质心转动,因无滑动(huádòng),角速度为(以A点为瞬心)

在任一瞬时位置,园柱体的动能为:

为园柱体的质量，为园柱体绕质点轴的转动惯量

园柱体的势能为相对最低点O的重力势能，在同一瞬时园柱体质心升高了故按（2--2）式对于微幅摆动:上式可简化为:[1-29]精品资料（3）用能量(néngliàng)法计算弹簧的等效质量用能量法原理，可把弹簧的分布质量对系统振动频率的影响加以估计.得频率准确值。下面介绍用等效质量进行折算的一种近似方法。

先假定弹簧各截面的位移与其距固定端处的原始(yuánshǐ)距离成正比。设弹簧在联结质量块的一端位移为X，弹簧轴向长为L,则距固定端ξ处，位移为，因此，当质量块m在某一瞬时的速度为时,弹簧在ξ处的微段dξ,相对速度为。设为弹簧单位长度的质量，则弹簧dξ段的动能为

整个弹簧的动能为:

（整个弹簧质量）

系统总动能为质量块m的动能和弹簧质量的动能之和，在质量块经过静平衡位置时,系统最大动能为:

系统的势能仍与忽略弹簧质量时一样:由对简谐振动:得:=代入:称为系统等效质量.[1-30]精品资料4有阻尼系统的自由振动图示系统的运动方程(fāngchéng):

前面已述:

特征方程(fāngchéng):

通解:其中:（1）弱阻尼(zǔní)状态为虚数,令方程通解:若为方程的复解,数学上可证明,它的实部和虚部也是方程的解,由欧拉公式；=实部:虚部:均为方程解,且是线性无关解.由此,方程的通解为:[1-31]精品资料同时(tóngshí):当初始条件t=0时,代入得:

解得:分析:●由于有阻尼,振幅(zhènfú)随时间衰减●有阻尼,系统振动周期略有增大●可通过振幅(zhènfú)衰减曲线求阻尼大小值(对数减缩)[1-32]精品资料（2）强阻尼(zǔní)状态，是非周期性蠕动(3)临界阻尼(zǔní)状态