2022年四川省绵阳市三台县西平中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022年四川省绵阳市三台县西平中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2x﹣1=0有两个不同交点的一个必要不充分条件是（）A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜0 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1参考答案：C【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2，圆心为（1，0），半径r=，若直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离d=，即|1+m|＜2，得﹣2＜1+m＜2，得﹣3＜m＜1，则﹣3＜m＜1的一个必要不充分条件是m＜1，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆相交的等价条件求出m的取值范围是解决本题的关键．2.已知向量、满足，则的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.已知两条不重合的直线和两个不重合的平面有下列命题：①若，则； ②若则③若是两条异面直线，则④若则.其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C略4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．πR3 D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，几何体是一个底面半径、高均为R的圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，几何体是一个底面半径、高均为R的圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，则V==．故选：A．5.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（

）A.③④ B.①② C.②④ D.①③④参考答案：A【分析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；,,则,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.6.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2019项的和为（

）A.672 B.673 C.1346 D.2019参考答案：C【分析】求出已知数列除以2所得的余数，归纳可得是周期为3的周期数列，求出一个周期中三项和，从而可得结果.【详解】由数列各项除以2的余数，可得为，所以是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为，因为，所以数列的前2019项的和为，故选C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，考查了递推关系求数列各项的和，属于中档题.利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.7.曲线y=在点（﹣1，1）处的切线方程为(

)A．y=2x+3 B．y=2x+1 C．y=﹣2x﹣1 D．y=﹣2x参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．【解答】解：y′==∴y′|x=﹣1=2而切点的坐标为（﹣1，1）∴曲线y=在点（﹣1，1）处的切线方程为y=2x+3．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．8.命题“”的否定为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D【知识点】命题及其关系A2的否定为【思路点拨】根据存在量词全称量词关系求得。9.已知数列{an}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2 B．2π C．π D．4π2参考答案：A【考点】等比数列的性质；定积分．【专题】等差数列与等比数列．【分析】求定积分可得a2013+a2015=π，由等比数列的性质变形可得a2014（a2012+2a2014+a2016）=（a2013+a2015）2，代值计算可得．【解答】解：由定积分的几何意义可得dx表示圆x2+y2=4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得a2013+a2015=dx=×π×22=π，∴a2014（a2012+2a2014+a2016）=a2014?a2012+2a2014?a2014+a2014?a2016=+2a2013?a2015=（a2013+a2015）2=π2故选：A【点评】本题考查等比数列的性质，涉及定积分的求解，属中档题．10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．+ B．1+ C． D．1参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．【解答】解：根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：=，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：×1×2×1=1，故组合体的体积V=1+，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在极坐标系中，点到直线的距离为

．参考答案：12.若等差数列{an}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小值时，n的值等于

．参考答案：6【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值．【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{an}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=﹣11，an=a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和Sn取最小值时，n=6．故答案为：6．13.已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为

．参考答案：

2略14.定义一个对应法则．现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则．当点在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点所经过的路线长度为

．参考答案：15.从的映射，则的原象为

.参考答案：16.已知曲线y=3x﹣lnx，则其在点（1，3）处的切线方程是．参考答案：2x﹣y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，3）和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=3x﹣lnx知y′=3﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2，则切线方程为：y﹣3=（x﹣1），2x﹣y+1=0．故答案为：2x﹣y+1=0．17.数列满足,,是的前项和,则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2015?鹰潭一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．参考答案：考点： 简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．

专题： 直线与圆．分析： （Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cosφ，=|OA|，命题得证．（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．解答： 解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），…（2分）则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ，=|OA|．…（5分）（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣）．…（7分）C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），故直线的斜率为﹣，…（9分）所以m=2，α=．…（10分）点评： 本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于基础题．19.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，.（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；（Ⅱ）若二面角B1—DC—C1的大小为60°，求AD的长.

参考答案：解析：解法一：（Ⅰ）∵，∴，又由直三棱柱性质知，∴平面ACC1A1.∴……①由D为中点可知，，∴即……②由①②可知平面B1C1D，又平面B1CD，故平面平面B1C1D.

（Ⅱ）由（1）可知平面ACC1A1，如图，在面ACC1A1内过C1作，交CD或延长线或于E，连EB1，由三垂线定理可知为二面角B-1—DC—C1的平面角，∴

由B1C1=2知，，设AD=x，则∵的面积为1，

∴，解得，即解法二：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）.即由，得；由，得；又，∴平面B1C1D.又平面B1CD，∴平面平面B1C1D.

（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），，设平面B1CD的法向量为.则由，令z=-1，得，又平面C1DC的法向量为，则由，即，故

20.班上有四位同学申请A，B，C三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生中k次的概率计算公式能求出恰有2人申请A大学或B大学的概率．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，则P（M）==，∴恰有2人申请A大学或B大学的概率为．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列为：X01234PE（X）=4×=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．21.某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望.参考答案：（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取名用户，评分不低于分有人，其中评分小于分的人数为，从人人任取人，记评分小于分的人数为，则取值为，；；.所以的分布列为

或.22.已知，（Ⅰ）求函数（）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A满足，而，求BC边上的高AD长