2022安徽省安庆市潜山县第二中学高三数学理期末试卷含解析

2022安徽省安庆市潜山县第二中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（

）A.λ＜﹣16 B.λ＝﹣16 C.﹣12＜λ＜0 D.λ＝﹣12参考答案：D【分析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.【详解】设，联立则，因为直线经过C的焦点，所以.同理可得，所以故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。2.曲线在处的切线方程为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A3.已知向量a=（2,1）,b=（x,-2）,若a∥b,则a+b=

A.（-2,-1）

B.（2,1）

C.（3,-1）

D.（-3,1）参考答案：【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．L4

【答案解析】A

解析：根据题意，向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则有1?x=2?（﹣2），即x=﹣4，即=（﹣4，﹣2），则+=（﹣2，﹣1），故选A．【思路点拨】根据题意，由向量平行的判断方法，可得2x﹣2=0，解可得x的值，即可得的坐标，由向量加法的坐标运算方法，可得答案．4.下列关于直线、与平面、的命题中，真命题是（

）A．若，且，则

B．若，且，则C．若，且，则

D．若，且，则参考答案：B5.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()（A）120

（B）720

（C）1440

（D）5040参考答案：B7.的展开式中x2的系数为（）A．﹣240B．240C．﹣60D．60参考答案：B考点：二项式定理．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．解答：解：的展开式的通项公式为Tr+1=（﹣1）rx﹣r=（﹣1）r??x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，故展开式中x2的系数为=240，故选B．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．8.函数的图象是参考答案：B9.设满足约束条件则的最大值（

）

（A） （B）2 （C） （D）参考答案：A试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知为最优解，．考点：线性规划.10.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（

）A．若，则

B．若，，则C．若，，则

D．若，，则参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最小正周期是___________．参考答案：,所以周期。12.已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线对称，当时，，则

.参考答案：213.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为

日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）参考答案：2.6【考点】数列的应用．【分析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．【解答】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．则An=，Bn=，由题意可得：=，化为：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.6．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知数列的通项公式为则=___．参考答案：15.函数，若a,b,c,d是互不相等的实数，且，则a+b+c+d的取值范围为___

.参考答案：(4，2017)略16.已知空间一点A的坐标是（5，2，﹣6），P点在x轴上，若PA=7，则P点的坐标是．参考答案：（8，0，0）或（2，0，0）考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：设出P的坐标，利用PA=5，求解即可．解答：解：设P的坐标是（a，0，0），点A的坐标为（5，2，﹣6），PA=7，∴解得a=8或2∴P点的坐标是：（8，0，0）或（2，0，0）故答案为：（8，0，0）或（2，0，0）点评：本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力．17.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y组成的实数对（x，y）；若将（x，y）看作一个点，再统计点（x，y）在圆x2+y2＝1外的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值，假如统计结果是m＝52，那么可以估计π的近似值为_______.（用分数表示）参考答案：【分析】由试验结果知200对之间的均匀随机数，，对应区域的面积为1，两个数对，满足且，都小于1，面积为，由几何概型概率计算公式即可估计的值．【详解】解：由题意，240对都小于的正实数对，对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对，满足且，都小于1，，面积，因为点在圆外的个数；；．故答案为：．【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，考查运算求解能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分)已知函数．（１）求证：函数在区间上存在唯一的极值点；（２）当时，若关于的不等式恒成立，试求实数的取值范围.参考答案：（1），

∵

，，∴

．令，则，

∴

在区间上单调递增，∴

在区间上存在唯一零点，∴

在区间上存在唯一的极小值点．

（2）由，得，∵，∴,令，则.∵，∴，

∴在上单调递增，∴，∴的取值范围是．19.（10分）已知曲线的极坐标方程，直线的参数方程，

以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）求曲线的直角坐标方程.（2）若、分别为曲线上的两个动点，求的最小值.参考答案：【知识点】选修4-4

参数与参数方程N3【答案解析】（1）；（2）：（1）直线l的参数方程化为普通方程为：x-y-3=0；

曲线C的极坐标方程ρ=2sinθ，化为直角坐标方程为：x2+y2=2y，即圆C：x2+（y-1）2=1．

（2）圆C的圆心为（0，1），半径r=1，圆心到直线的距离d==2，

则d＞r，直线和圆相离，则|MN|的最小值为2-1．【思路点拨】（1）运用代入法，即可化直线l的方程为普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可化曲线C为直角坐标方程；

（2）通过直线和圆的判定方法：d，r法，得到直线和圆相离，再由圆心到直线的距离减半径，即为所求．20.(本小题满分12分)如图1，的直径AB=4，点C、D为上两点，且CAB=45°，DAB=60°，F为弧BC的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直，如图2。(I)求证：OF平面ACD；(Ⅱ)求二面角C—AD—B的余弦值；(Ⅲ)在弧BD上是否存在点G，使得FG平面ACD?若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由．参考答案：（方法一）：证明：（Ⅰ）如右图，连接，

，.

…1分又为弧的中点，，.

………平面，平面，平面．

…解：（Ⅱ）过作于，连．

，平面⊥平面．

⊥平面．又平面，，平面，，则∠是二面角的平面角．…，，.

由⊥平面，平面，得为直角三角形，，==．

………8分（Ⅲ）取弧的中点，连结、，则…平面，平面平面//平面.

……………因此，在弧上存在点，使得//平面，且点为弧的中点．…12分（方法二）：证明：（Ⅰ）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，建立空间直角坐标系则．……1分，点为弧的中点，点的坐标为，．解：（Ⅱ），点的坐标，．设二面角的大小为，为平面的一个法向量．由

有

即取，解得，．=．………………5分取平面的一个法向量=，

………6分．……………8分（Ⅲ）设在弧上存在点,,由（Ⅱ）知平面的一个法向量为=．

=

①

……………9分又因为

②由①②两