2021-2022学年重庆九龙坡区陶家镇中学高三数学理联考试题

2021-2022学年重庆九龙坡区陶家镇中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数的图像关于直线对称,它的周期是,则A.的图象过点

B.在上是减函数C.的一个对称中心是D.将的图象向右平移个单位得到函数的图象.参考答案：C因为函数的图像关于直线对称,它的周期是，可知w=2,因此可知选项C成立。2.已知，则的大小关系为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：A略3.已知k≥﹣1，实数x，y满足约束条件，且的最小值为k，则k的值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得，得A（4﹣k，k），则AD的斜率k=，整理得k2﹣3k+1=0，得k=或（舍），故选：C4.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（

）A．

B.C.

D.。参考答案：D略5.已知i是虚数单位，则复数的模为（）A．1 B．2 C． D．5参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．

【专题】计算题．【分析】利用复数的运算法则即可化为﹣1+2i，再利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数===﹣1+2i，∴==．故选C．【点评】熟练掌握复数的运算法则、复数模的计算公式是解题的关键．6.已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1（n∈N*）的取值范围是（）A．[12，16] B．[8，] C．[8，） D．[，]参考答案：C【考点】等比数列的性质．【分析】根据已知的由a2和a5的值，利用等比数列的性质即可求出公比q的值，由等比数列的通项公式求出a1的值，进而得到a1a2的值，得到数列{anan+1}为等比数列，由首项和公比，利用等比数列的前n项和公式表示出数列的前n项和，即可得到所求式子的取值范围．【解答】解：由a2=2，a5=，得到q3==，解得q=，且a1==4，所以数列{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列，则a1a2+a2a3+…+anan+1==（1﹣4﹣n），所以a1a2+a2a3+…+anan+1（n∈N*）的取值范围是[8，）．故选C7.如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．6 C．2 D．3参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体由上下两部分组成，上面是水平放置的一个三棱柱，底面是底边为2，高为1的三角形，三棱柱的高为2；下面是一个水平放置的四棱柱，底面是一个平行四边形，边长为2，其高为1，四棱柱的高为2．【解答】解：如图所示，该几何体由上下两部分组成，上面是水平放置的一个三棱柱，底面是底边为2，高为1的三角形，三棱柱的高为2；下面是一个水平放置的四棱柱，底面是一个平行四边形，边长为2，其高为1，四棱柱的高为2．该几何体的体积=2×1×2+=6．故选：B．8.函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为（

）

参考答案：C略9.已知函数，则的值为（

）（A）4

（B）

（C）

（D）2参考答案：D10.在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B． C． D．参考答案：C【分析】由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，取AA1的中点N，可知截面为等腰梯形，利用题中数据可求．【解答】解：取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN=BC1=，MC1=BN，=，∴梯形的高为，∴梯形的面积为（）×=，故选C．【点评】本题的考点是棱柱的结构特征，主要考查几何体的截面问题，关键利用正方体图形特征，从而确定截面为梯形．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，△ABC面积的最大值为

．参考答案：由题意可知，，得，由余弦定理，由基本不等式，从而 面积的最大值为，当且仅当时取到最大值.

12.如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”给出函数：①y=﹣x3+1，②y=3x﹣2sinx﹣2cosx③y=④y=．以上函数为“Z函数”的序号为．参考答案：②考点：抽象函数及其应用．

专题：函数的性质及应用．分析：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．解答：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①函数y=﹣x3+1在定义域上单调递减．不满足条件．②y=3x﹣2sinx﹣2cosx，y′=3﹣2cosx+2sinx=3+2（sinx﹣cox）=3﹣2sin（x﹣）＞0，函数单调递增，满足条件．③f（x）=y=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．④y=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．故答案为：②点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．13.在三棱锥A-BCD中，,若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是__________．参考答案：由已知可得所以平面设三棱锥外接球的球心为O，正三角形ABD的中心为，则，连接O，OC，在直角梯形中，有，，OC=OB=R，可得：，故所求球的表面积为.故答案为：点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．14.已知则的值为

参考答案：－215.已知：向量，则

。参考答案：

依题意得。本题考查向量的相关运算规则。16.已知，则______．参考答案：..17.在某市举办的安全教育知识竞赛中，抽取1800名学生的成绩（单位：分），其频率分布直方图如图所示，则成绩落在[50，60）中的学生人数为．参考答案：180【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率和为1求出a的值，计算模块测试成绩落在[50，60）中的频率以及频数即可．【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得：10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=；∴模块测试成绩落在[50，60）中的频率是：10×2a=20a=20×=0.1，∴对应的学生人数是1800×0.1=180．故答案为：180．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为平方米．（1）设试验田的面积为，，求函数的解析式；（2）求试验田占地面积的最小值．参考答案：解：设的长与宽分别为和，则

（3分）

（2分）试验田的面积（2分）令，，则，

（4分）当且仅当时，，即，此时，．

（2分）答:试验田的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2.（1分）19.(本小题满分10分)已知<<<,求.参考答案：解：由，得又∵，∴由得：所以

————————————10分略20.对于?n∈N*，若数列{xn}满足xn+1﹣xn＞1，则称这个数列为“K数列”．（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）是否存在首项为﹣1的等差数列{an}为“K数列”，且其前n项和Sn满足Sn＜n2－n(n∈N*)？若存在，求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{an}是“K数列”，数列{an}不是“K数列”，若bn=，试判断数列{bn}是否为“K数列”，并说明理由．参考答案：【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由题意得（m+1）﹣1＞1，m2﹣（m+1）＞1，联立解出即可得出．（Ⅱ）假设存在等差数列{an}符合要求，设公差为d，则d＞1，由题意，得对n∈N*均成立，化为（n﹣1）d＜n．对n分类讨论解出即可得出．（Ⅲ）设数列{an}的公比为q，则，由题意可得：{an}的每一项均为正整数，且an+1﹣an=anq﹣an=an（q﹣1）＞1＞0，可得a1＞0，且q＞1．由an+1﹣an=q（an﹣an﹣1）＞an﹣an﹣1，可得在{an﹣an﹣1}中，“a2﹣a1”为最小项．同理，在中，“”为最小项．再利用“K数列”，可得a1=1，q=3或a1=2，q=2．进而得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意得（m+1）﹣1＞1，①m2﹣（m+1）＞1，②解①得m＞1；解②得m＜﹣1或m＞2．所以m＞2，故实数m的取值范围是m＞2．（Ⅱ）假设存在等差数列{an}符合要求，设公差为d，则d＞1，由a1=﹣1，得，．由题意，得对n∈N*均成立，即（n﹣1）d＜n．①当n=1时，d∈R；②当n＞1时，，因为，所以d≤1，与d＞1矛盾，故这样的等差数列{an}不存在．（Ⅲ）设数列{an}的公比为q，则，因为{an}的每一项均为正整数，且an+1﹣an=anq﹣an=an（q﹣1）＞1＞0，所以a1＞0，且q＞1．因为an+1﹣an=q（an﹣an﹣1）＞an﹣an﹣1，所以在{an﹣an﹣1}中，“a2﹣a1”为最小项．同理，在中，“”为最小项．由{an}为“K数列”，只需a2﹣a1＞1，即a1（q﹣1）＞1，又因为不是“K数列”，且“”为最小项，所以，即a1（q﹣1）≤2，由数列{an}的每一项均为正整数，可得a1（q﹣1）=2，所以a1=1，q=3或a1=2，q=2．①当a1=1，q=3时，，则，令，则，又=，所以{cn}为递增数列，即cn＞cn﹣1＞cn﹣2＞…＞c1，所以bn+1﹣bn＞bn﹣bn﹣1＞bn﹣1﹣bn﹣2＞…＞b2﹣b1．因为，所以对任意的n∈N*，都有bn+1﹣bn＞1，即数列{cn}为“K数列”．②当a1=2，q=2时，，则．因为，所以数列{bn}不是“K数列”．综上：当时，数列{bn}为“K数列”，当时，数列{bn}不是“K数列”．21.如图，已知四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形，平面AA1B1B和平面AA1C1C互相垂直，且∠ACC1=∠BAA1=60°，AA1=2（Ⅰ）求证：AA1⊥BC1；（Ⅱ）求四面体A﹣CC1B1的体积；（Ⅲ）求二面角C﹣AB﹣C1的正弦值．

参考答案：（1）证明：设AA1的中点为O，连接OB，∵四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形，且∠ACC1=∠BAA1=60°，∴三角形AA1B和三角形AA1C1都是等边三角形，所以OB⊥OC1，又∵OB∩OC1=O，∴AA1⊥平面OBC1，所以AA1⊥BC1；（2）解：∵三角形CC1B1和CC1B面积相等，∴=，∴四面体A﹣CC1B1的体积为1；（3）解：由（1）知AA1⊥OB，又∵平面AA1B1B和平面AA1C1C互相垂直，∴OB⊥平面AA1C1C，∴OA1，OC1，OB，三条直线两两垂直，以O为坐标原点，分别以OA1，OC1，OB为x轴，y轴，z轴建立坐标系如图，则，，∴=（1，0，），=（﹣1，，0），=（1，，0），设平面ABC，ABC1的法向量的坐标分别为（a，b，c），（a1，b1，c1），由，可得，所以可取，同理可取，∴，所以二面角C﹣AB﹣C1的正弦值为=．

略22.（本小题14分）已知椭圆，长轴长是，离心率是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆焦点与短轴端点的直线与椭圆交于两点，求由这两个交点与另一焦点构成三角形的面积。（Ⅲ）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）-----