2021-2022学年福建省莆田市砺青中学高三数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年福建省莆田市砺青中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，，，，…，．①第二步：将数列①的各项乘以n，得到数列（记为）a1，a2，a3，…，an．则a1a2+a2a3+…+an﹣1an=（）A．n2 B．（n﹣1）2 C．n（n﹣1） D．n（n+1）参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】ak=．n≥2时，ak﹣1ak==n2．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵ak=．n≥2时，ak﹣1ak==n2．∴a1a2+a2a3+…+an﹣1an=n2+…+==n（n﹣1）．故选：C．2.如图，在正方体中，是的中点，为底面内一动点，设与底面所成的角分别为（均不为．若，则动点的轨迹为哪种曲线的一部分（

）.(A)直线

(B)圆

(C)椭圆

(D)抛物线参考答案：B【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系;图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【正确选项】B【试题分析】在正方体中，平面,,所以,因为，所以，即,因为为的中点，所以,设正方体边长为2，以DA方向为轴，线段DA的垂直平分线为轴建立如图所示的坐标系，则,因为，所以，化简得，所以动点的轨迹为圆的一部分.3.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为，AB=1，则直线AB1与CD1所成的角为（

）A.30° B.45° C.60° D.90°参考答案：C【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与CD1所成的角．【详解】∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为，AB＝1，∴AA1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B1（1，1，），C（0，1，0），D1（0，0，），（0，1，），（0，﹣1，），设直线AB1与CD1所成的角为θ，则cosθ，又θ∴θ＝60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．4.钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是

A．

B．

C．

D．参考答案：A5.已知全集，集合，，则等于

(

)A.｛0，4｝

B.｛3，4｝C.｛1，2｝

D.参考答案：A6.已知为实数，条件p：，条件q：，则p是q的(

)

A．充要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B由得。由得。所以p是q的必要不充分条件，选B.7.若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【分析】将已知式子平方可得=0，代入向量的夹角公式可得其余弦值，结合夹角的范围可得答案．【解答】解：∵，∴，两边平方可得=，化简可得=0，设向量与的夹角为θ则可得cosθ====，又θ∈[0，π]，故θ=故选B．8.

复数的实部是（

）A.2

B.4

C.3

D.-2参考答案：A9.函数，，其中，则．均为偶函数

．均为奇函数．

为偶函数，为奇函数

．

为奇函数，为偶函数参考答案：

C10.已知函数，，若的图像与的图象有且仅有两个不同的公共点、，则下列判断正确的是（

）A．，

B．， C．， D．，参考答案：C方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，则点在第三象限，为

两函数在第一象限的切点，要想满足条件，则有如图，做出点关于原点的对称点,

则点坐标为由图象知，即.

方法二：的图像与的图象有且仅有两个不同的公共点，则方程有且仅有两个根，则函数有且仅有两个零点，，又，则，当时满足函数有且仅有两个零点，此时，，，即.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*）且对任意m，n∈N*都有①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）．则f（2007，2008）的值=．参考答案：22006+4014【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】根据条件可知{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列，求出f（1，n），以及{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，求出f（n，1）和f（m，n+1），从而求出所求．【解答】解：∵f（m，n+1）=f（m，n）+2∴{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列∴f（1，n）=2n﹣1又∵f（m+1，1）=2f（m，1）∴{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，∴f（n，1）=2n﹣1∴f（m，n+1）=2m﹣1+2n∴f（2007，2008）=22006+4014故答案为：22006+4014．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，推出f（n，1）=2n﹣1，f（n，1）=2n﹣1，f（m，n+1）=2m﹣1+2n，是解答本题的关键，属中档题．12.函数对于任意实数满足条件，若，则

。参考答案：略13.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为．参考答案：210【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】设前3m项和为x，则30，100﹣30，x﹣100成等差数列，解出x的值，即为所求．【解答】解：等差数列{an}的每m项的和成等差数列，设前3m项和为x，则30，100﹣30，x﹣100成等差数列，故2×70=30+（x﹣100），x=210，故答案为：210．【点评】本题考查等差数列的性质，前n项和的性质，得到30，100﹣30，x﹣100成等差数列，是解题的关键．14.设为等差数列的前项和，若，公差，，则

________

参考答案：515.三名学生两位老师站成一排，则老师站在一起的概率为

。

参考答案：【知识点】古典概型及其概率计算公式三名学生两位老师站成一排，有种方法，老师站在一起，共有种方法，∴老师站在一起的概率为．故答案为：．【思路点拨】求出三名学生两位老师站成一排，有种方法，老师站在一起的方法，即可求出概率．

16.设正项等比数列的前项和为，则以，，为前三项的等差数列的第8项与第4项之比为 .参考答案：17.已知，，则

，

，

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°．E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点．（１）求证：BF∥平面A′DE；（２）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值．参考答案：(1)略(2)19.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若a=8，求C上的点到l的距离的最大值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；36：整体思想；4G：演绎法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）将参数方程化为直角坐标方程，然后联立直线方程与椭圆方程即可求得交点坐标；（2）求得距离公式的三角函数表达式，结合三角函数的性质即可求得最终结果．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为化为标准方程是：；a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；联立方程可得：或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和．（2）若a=8，则l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣12=0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：，当sin（θ+φ）=﹣1时，C上的点到l的距离有最大值．20.（本小题满分12分）已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量且

（1）求角A；

（2）若的值。参考答案：解：（1）因为，所以，

（2分）所以

（4分）因为

（6分）

（2）因为所以

（8分）所以

（9分）所以

（11分）即

（12分）略21.（14分）已知函数，其中是自然对数的底数，．(Ⅰ)若，求的单调区间；(Ⅱ)若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围．参考答案：（1），①若，当或时，；当时，.所以的单调递减区间为，；单调递增区间为.

…4分②若，，所以的单调递减区间为.…5分③若，当或时，；当时，.所以的单调递减区间为，；单调递增区间为.

…7分（2）由

（1）知，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极小值，在处取得极大值.8分

由，得.

当或时，；当时，.

所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增.

故在处取得极大值，在处取得极小值.10分

因为函数与函数的图象有3个不同的交点，

所以，即.

所以.

…………12分22.如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等边三角形，即可得解．（Ⅱ）法1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面积公式可求PB=3．进而利用余弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP=的值．法2：作AD⊥BC，垂足为D，可求：，利用三角形面积公式可求PB，进而可求BD，AB，利用三角函数的定义可求，．利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△APC中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2?AP?AC?cos∠PAC，…所以22=AP2+（4﹣AP）2﹣2?AP?（4﹣AP）?cos60°，整理得AP2﹣4AP+4=0，…解得AP=2．…所以AC=2．…所以△APC是等边三角形．…所以∠ACP=60°．…（Ⅱ）法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°．