高中数学人教A版5不等式和绝对值不等式2

第一讲一3一、选择题1．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6] B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞) D．[3lg2，＋∞)解析：∵x，y，z∈R＋∴x＋y＋z＝6≥3eq\r(3,xyz)∴xyz≤8∴lgx＋lgy＋lgz＝lgxyz≤lg8＝3lg2.答案：B2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式总成立的是()A．V≥π B．V≤πC．V≥eq\f(1,8)π D．V≤eq\f(1,8)π解析：圆柱高为h，半径为r，∴4r＋2h＝6∴h＝3－2rV＝πr2·h＝πr2·(3－2r)＝πr·(3－2r)·r≤πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r＋r＋3－2r,3)))3＝π.答案：B3．已知x∈R＋，有不等式：x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))＝3，….启发我们可以推广结论为：x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为()A．nn B．2nC．n2 D．2n＋1解析：x＋eq\f(1,x)≥2x＋eq\f(4,x2)≥3⋮⋮x＋eq\f(nn,xn)≥n＋1∴a＝nn.答案：A4．已知a，b，c∈R＋，x＝eq\f(a＋b＋c,3)，y＝eq\r(3,abc)，z＝eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))，则()A．x≤y≤z B．y≤x≤zC．y≤z≤x D．z≤y≤x解析：∵a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)∴eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，∴x≥y∴x2－z2＝eq\f(a＋b＋c2,9)－eq\f(a2＋b2＋c2,3)＝eq\f(2ab＋2bc＋2ac－2a2－2b2－2c2,9)＝eq\f(－a＋b2－b＋c2－a＋c2,9)<0.∴x2≤z2∴x≤z∴y≤x≤z答案：B二、填空题5．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到这三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：如图所示P到三边的距离分别为a，b，c.∵S＝eq\f(1,2)×3×4＝6S＝eq\f(1,2)(3a＋4b＋5c)．∴3a＋4b＋5∴12≥3eq\r(3,3a×4b×5c)∴abc≤eq\f(16,15).答案：eq\f(16,15)6．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤eq\f(1,27)；②eq\f(1,abc)≥27；③a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)；④ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).其中正确不等式的序号是________．解析：因为eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc).所以abc≤eq\f(a＋b＋c3,27)又因为a＋b＋c＝1，所以abc≤eq\f(1,27)①正确所以eq\f(1,abc)≥27②正确因为a2＋b2≥2aba2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bca2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc，因为a＋b＋c＝1(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤3(a2＋b2＋c2所以a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)③正确(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≥3(ab＋bc＋ac所以ab＋bc＋ac≤eq\f(1,3)④正确答案：①②③④三、解答题7．已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最小值时x，y的值．解析：∵x，y∈R＋且x2y＝4，∴x＋y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)x＋y≥3eq\r(3,\f(1,4)x2y)＝3eq\r(3,\f(1,4)×4)＝3，当且仅当eq\f(x,2)＝eq\f(x,2)＝y时等号成立．又∵x2y＝4.∴当x＝2，y＝1时，x＋y取最小值3.8．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))2≥6eq\r(3)，并确定a，b，c为何值时，等号成立．解析：方法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)eq\f(2,3). ①eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥3(abc)－eq\f(1,3)，所以(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))2≥9(abc)－eq\f(2,3). ②故a2＋b2＋c2＋(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))2≥3(abc)eq\f(2,3)＋9(abc)－eq\f(2,3).又3(abc)eq\f(2,3)＋9(abc)－eq\f(2,3)≥2eq\r(27)＝6eq\r(3). ③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)eq\f(2,3)＝9(abc)－eq\f(2,3)时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3eq\f(1,4)时，原式等号成立．方法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac， ①同理eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)≥eq\f(1,ab)＋eq\f(1,bc)＋eq\f(1,ac)， ②故a2＋b2＋c2＋(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))2≥ab＋bc＋ac＋3eq\f(1,ab)＋3eq\f(1,bc)＋3eq\f(1,ac)≥6eq\r(3). ③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3eq\f(1,4)时，原式等号成立．9．如图所示，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？解析：设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则V＝(a－2x)2x＝eq\f(1,4)(a－2x)(a－2x)×4x≤eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\