2021-2022学年湖北省武汉市小集中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2021-2022学年湖北省武汉市小集中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.程序框图如图21－1所示，则该程序运行后输出的B等于()图21－1A．7

B．15C．31

D．63参考答案：D2.如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（

）A． B．C． D．参考答案：B略3.定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式xf'（x）＜4f（x）恒成立，其中f'（x）为f（x）的导数，则（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】令g（x）=，（x＞0），求出函数的导数，得到函数的单调性，求出g（1）＞g（2），从而求出答案．【解答】解：令g（x）=，（x＞0），则g′（x）=，∵不等式xf'（x）＜4f（x）恒成立，∴xf'（x）﹣4f（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）递减，故g（1）＞g（2），故＜16，故选：A．4.已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.已知为正整数，，实数满足，若的最大值为，则满足条件的数对的数目为（

）。

。参考答案：。因为，所以，于是有，因此。由于，得，其中的最大值当，时取到。又因为，所以满足条件的数对的数目为，选。6.给出下列说法：①命题“若，则”的否命题是假命题；②命题，使＞1，则，≤1；③“”是“函数为偶函数”的充要条件；④命题“，使”，命题“在△ABC中，若＞，则A＞B”，那么命题为真命题。其中正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B7.在一球内有一边长为1的内接正方体,一动点在球内运动,则此点落在正方体内部的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D8.已知抛物线的焦点为F，点时抛物线C上的一点，以点M为圆心与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】作，垂足为点，根据在抛物线上可得，再根据得到，结合前者可得，从而得到抛物线的方程.【详解】画出图形如图所示作，垂足为点.由题意得点在抛物线上，则，得.①由抛物线的性质，可知，因为，所以.所以，解得.

②，由①②，解得（舍去）或.故抛物线的方程是.故选C.【点睛】一般地，抛物线上的点到焦点的距离为；抛物线上的点到焦点的距离为.9.函数是上的可导函数,时，，则函数的零点个数为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.函数的图象为，

①图象关于直线对称；

②函数在区间(－，)内是增函数；

③由的图象向右平移个单位长度．

可以得到图象．以上三个命题中，真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,

A+C=2B,则sinC=

.参考答案：1略12.若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．故答案为：．13.已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为．参考答案：x2+（y+1）2=18【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求圆C的方程，先求圆心，设圆心坐标为（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线PC垂直与y=x+1且PC的中点在直线y=x+1上分别列出方程①②，联立求出a和b即可；再求半径，根据垂径定理得到|AB|、圆心到直线AB的距离及圆的半径成直角三角形，根据勾股定理求出半径．写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心坐标C（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线CP与y=x+1垂直，而y=x+1的斜率为1，所以直线CP的斜率为﹣1即=﹣1化简得a+b+1=0①，再根据CP的中点在直线y=x+1上得到=+1化简得a﹣b﹣1=0②联立①②得到a=0，b=﹣1，所以圆心的坐标为（0，﹣1）；圆心C到直线AB的距离d==3，|AB|=3所以根据勾股定理得到半径，所以圆的方程为x2+（y+1）2=18．故答案为：x2+（y+1）2=18【点评】此题是一道综合题，要求学生会求一个点关于直线的对称点，灵活运用垂径定理及点到直线的距离公式解决数学问题．会根据圆心和半径写出圆的方程．14.设，实数，满足若，则实数的取值范围是

．参考答案：[－1,3]根据题意得可行域所围成的三角形必在两平行线和之间，由图可知，实数的取值范围是，填.

15.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是

▲

.参考答案：16.若是纯虚数，则=

参考答案：2011略17.已知一个平面与正方体的12条棱的夹角均为，那么为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率。参考答案：（1）将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的用表示“都是甲类题”这一事件，则包含的基本事件有，，，，,，共6个，所以(2)基本事件同（1），用表示“不是同一类题”这一事件，则包含的基本事件有，，，，，，，，共8个，所以19.已知四棱锥如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形.（1）若E是PD的中点，求证：平面PCD；（2）求此四棱锥的表面积。参考答案：（1）证明：由三视图可知，平面，∴

∵是正方形，∴

又，平面，平面∴平面，

∵平面，∴

又是等腰直角三角形，E为PD的中点，∴又，平面，平面∴平面.（2）解：由题意可知，四棱锥的底面是边长为2的正方形，其面积，高，所以

四棱锥的表面积

略20.（本小题满分12分）医生的专业能力参数可有效衡量医生的综合能力，越大，综合能力越强，并规定:能力参数不少于30称为合格，不少于50称为优秀.某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核,得到如图所示的能力的频率分布直方图:（Ⅰ）求出这个样本的合格率、优秀率;（Ⅱ）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本,再从这20名医生中随机

选出2名.

①求这2名医生的能力参数为同一组的概率;

②设这2名医生中能力参数为优秀的人数为,求随机变量的分布列和期望.参考答案：21.已知双曲线:过点,且离心率为2，过右焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为M，N.（1）求双曲线的方程；（2）求四边形OMFN的面积（O为坐标原点）．参考答案：解：（1）因为，所以3，------------2分设双曲线方程为∴双曲线过点，则有，∴双曲线方程为----------------5分（2）右焦点F到渐近线的距离，-----------9分，∴-----------12分 略22.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AB中点，连接OC，OA1，得出OC⊥AB，OA1⊥AB，运用AB⊥平面OCA1，即可证明．（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向建立坐标系，可向量的坐标，求出平面BB1C1C的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点，连接OC，OA1，∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°∴OC⊥AB，OA1⊥AB，∵OC∩OA1=O，∴AB⊥平面OCA1，∵CA1?平面OCA1，∴AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA