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文档简介
2021-2022学年湖南省湘西市古丈县第一中学高三数学文月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知实数x,y满足不等式组,若z=y﹣2x的最大值为7,则实数a=()A.﹣1 B.1 C. D.参考答案:B【考点】简单线性规划.【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域,再用目标函数的几何意义,通过目标函数的最值,得到最优解,代入方程即可求解a值.【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示:令z=y﹣2x,则z表示直线z=y﹣2x在y轴上的截距,截距越大,z越大,结合图象可知,当z=y﹣2x经过点A时z最大,由可知A(﹣4,﹣1),A(﹣4,﹣1)在直线y+a=0上,可得a=1.故选:B.2.设全集U是实数集R,M={x|x2>4},N={x|≥1},则下图中阴影部分所表示的集合是()A.{x|-2≤x<1}
B.{x|-2≤x≤2}
C.{x|1<x≤2}
D.{x|x<2}参考答案:C3.将函数的图象向左平移个单位,得到的图象,则等于(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:C4.函数的部分图象如图所示,则的值分别是(
)(A)
(B)(C)
(D)参考答案:A5.将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验,每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有A.种
B种
C.种
D.种参考答案:C6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则得到的这个新的三角形的形状为(
)A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.由增加的长度决定参考答案:A7.执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的属于()A.?
B.?
C.?
D.参考答案:A8.已知函数f(x)=x3﹣ax2+x在区间(,3)上既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是()A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.(2,) D.(2,)参考答案:C【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】求导,由题意可知:f′(x)=0在(﹣2,2)内应有两个不同实数根.根据二次函数的性质,即可求得实数a的取值范围.【解答】解:函数f(x)=x3﹣ax2+x,求导f′(x)=x2﹣ax+1,由f(x)在(,3)上既有极大值又有极小值,则f′(x)=0在(,3)内应有两个不同实数根.,解得:2<a<,实数a的取值范围(2,),故选C.9.“”是“”的A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:B10.设为复数的共轭复数,且,则等于A.
B.
C.
D.参考答案:B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数在(0,1)上不是单调函数,则实数的取值范围为
_____.
参考答案:略12.(原创)设等差数列有无穷多项,各项均为正数,前项和为,,且,,则的最大值为
.参考答案:16略13.设函数其中若存在唯一的整数使得,则的取值范围是
参考答案:14.函数的导函数为__________.参考答案:略15.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3,则=
.参考答案:9【考点】等差数列的性质.【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5,S5=5a3,根据a5=5a3,进而可得则的值.【解答】解:∵{an}为等差数列,S9=a1+a2+…+a9=9a5,S5=a1+a2+…+a5=5a3,∴故答案为916.(5分)在正项等比数列{an}中,若a1?a9=4,则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=.参考答案:9【考点】:等比数列的性质;对数的运算性质;数列的求和.【专题】:等差数列与等比数列.【分析】:直接利用等比数列的性质以及对数的运算法则化简所求表达式,求解即可.解:∵a1?a9=4,∴a1?a9=a2?a8=a3?a7=a4?a6=4∴log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=log2(a1?a2?a3…a9)=log2(a1?=log229=9故答案为:9.【点评】:本题考查数列求和对数的运算法则等比数列的性质,考查计算能力.17.程序框图如下:如果上述程序运行的结果为S=132,那么判断框中横线上应填入的数字是________.参考答案:10略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.若的图像与直线相切,并且切点横坐标依次成公差为的等差数列.(1)求和的值;(2)⊿ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。若是函数图象的一个对称中心,且a=4,求⊿ABC周长的取值范围。参考答案:解:(1)=……………3分由题意,函数的周期为,且最大(或最小)值为,而,所以,
………………6分(2)∵(是函数图象的一个对称中心
∴又因为A为⊿ABC的内角,所以
………………9分⊿ABC中,则由正弦定理得:,
∴b+c+a………………12分
略19.(本小题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:w_w*w.k_s_5u.c*o*m.k#s5_u.c(Ⅰ)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名?(Ⅱ)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.w_w*w参考答案:【解】:在100名电视观众中,收看新闻的观众共有45人,其中20至40岁的观众有18人,大于40岁的观众共有27人。故按分层抽样方法,在应在大于40岁的观众中中抽取人.
……4分(2)抽取的5人中,年龄大于40岁的有3人,分别记作1,2,3;20岁至40岁的观众有2人,分别高为,若从5人中任取2名观众记作,……6分则包含的总的基本事件有:共10个。…8分其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有:共6个.……10分故(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=;
……12分
略20.已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1(a>b>0)相交于A、B两点. ①若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段AB的长; ②若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率e∈[,]时,求椭圆的长轴长的最大值. 参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 【专题】综合题. 【分析】(1)由椭圆的离心率为,焦距为2,求出椭圆的方程为.联立,消去y得:5x2﹣6x﹣3=0,再由弦长公式能求求出|AB|. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由,知x1x2+y1y2=0,由,消去y得(a2+b2)x2﹣2a2x+a2(1﹣b2)=0,再由根的判断式得到a2+b2>1,利用韦达定理,得到a2+b2﹣2a2b2=0.由此能够推导出长轴长的最大值. 【解答】解:(1)∵,2c=2, ∴a=,b=, ∴椭圆的方程为.…(2分) 联立,消去y得:5x2﹣6x﹣3=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则,, ∴|AB|= = =.…(5分) (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), ∵,∴, 即x1x2+y1y2=0, 由,消去y得(a2+b2)x2﹣2a2x+a2(1﹣b2)=0, 由△=(﹣2a2)2﹣4a2(a2+b2)(1﹣b2)>0,整理得a2+b2>1…(7分) ∵,, ∴y1y2=(﹣x1+1)(﹣x2+1)=x1x2﹣(x1+x2)+1, ∴x1x2+y1y2=0,得:2x1x2﹣(x1+x2)+1=0, ∴, 整理得:a2+b2﹣2a2b2=0.…(9分) ∴b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2,代入上式得 2a2=1+,∴,…(10分) ∵, ∴,∴, ∴,∴, ∴适合条件a2+b2>1. 由此得,∴, 故长轴长的最大值为.…(12分) 【点评】本题考查椭圆方程和长轴长最大值的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意向量垂直的条件、韦达定理、根的判别式、弦长公式、椭圆性质等知识点的灵活应用.21.已知函数f(x)=mx2﹣x+lnx.(1)当m=﹣1时,求f(x)的极大值;(2)若在函数f(x)的定义域内存在区间D,使得该函数在区间D上为减函数,求实数m的取值范围;(3)当时,若曲线C:y=f(x)在点x=1处的切线l与曲线C有且只有一个公共点,求m的值或取值范围.参考答案:【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】分类讨论;函数思想;方程思想;转化思想;综合法;导数的综合应用.【分析】(1)当m=﹣1时,求出函数的解析式,定义域,求出导函数,求出极值点,推出结果即可.(2)(法一),通过当m≤0,当m>0时,求解实数m的取值范围.(法二),问题成立只需m<u(x)max(x∈(0,+∞)),然后求解实数m的取值范围.(3)求出切线方程,转化mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1在(0,+∞)上有且只有一解.构造函数g(x)=mx2﹣x+lnx﹣(2mx﹣m﹣1),求出函数g(x)有零点x=1.通过求解导函数,讨论当时,当时,判断函数的单调性,利用函数的零点.推出m的范围.【解答】解:(1)当m=﹣1时,f(x)=mx2﹣x+lnx=﹣x2﹣x+lnx,其定义域(0,+∞).又.∵,故由f′(x)=0,得.…∴当时,f′(x)>0,f(x)递增;当,f′(x)<0,f(x)递减.因此当时,f(x)取得极大值;…(2)(法一),即2mx2﹣x+1<0在(0,+∞)上有解.当m≤0显然成立;…当m>0时,由于函数y=2mx2﹣x+1的图象的对称轴,故须且只须△>0,即1﹣8m>0,故.…综上所述得,故实数m的取值范围为;…(若f'(x)≤0在(0,+∞)上有解,最后有检验也是可以的)(法二),即2mx2﹣x+1<0在(0,+∞)上有解.即2mx2﹣x+1<0在(0,+∞)能成立,即,设,问题成立只需m<u(x)max(x∈(0,+∞))…∵,∴故实数m的取值范围为;…(3)因为f(1)=m,f′(1)=2m,故切线方程为y﹣m+1=2m(x﹣1),即y=2mx﹣m﹣1,…从而方程mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1在(0,+∞)上有且只有一解.设g(x)=mx2﹣x+lnx﹣(2mx﹣m﹣1),则g(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点,又g(1)=0,故函数g(x)有零点x=1.…则.当时,g′(x)≥0,又g(x)不是常数函数,故g(x)在(0,+∞)上递增.∴函数g(x)有且只有一个零点x=1,满足题意;…当时,由g′(x)=0,得,或x=1.且由g′(x)>
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