高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系 第三章单元检测

第三章单元检测班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为()A．45°B．135°C．90°D．180°答案：A2．直线x＋ay－6＝0和直线(a－4)x－3y＋2a＝0平行，则a的值是A．1B．－1C．1或3D．－1或3答案：A解析：当a＝0时，两直线方程分别为x＋6＝0和－4x－3y＝0，不平行；当a≠0时，eq\f(a－4,1)＝eq\f(－3,a)≠eq\f(2a,－6)，解得a＝1.3．下列三点能构成三角形的三个顶点的为()A．(1,3)(5,7)(10,12)B．(－1,4)(2,1)(－2,5)C．(0,2)(2,5)(3,7)D．(1，－1)(3,3)(5,7)答案：C解析：因为A，B，D选项中的三点均共线，不能构成三角形．4．已知点A(－1,1)和B(1,7)，则原点O到直线AB的距离为()\f(2\r(5),5)\f(2\r(10),5)C．3D．5答案：B解析：直线AB的方程为3x－y＋4＝0，d＝eq\f(4,\r(10))＝eq\f(2\r(10),5).5．过点(1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()A．y＝2xB．x＋y－3＝0C．x＋y－3＝0或y＝2xD．x＋y－3＝0或x－y＋1＝0答案：C解析：当所求直线过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0，适合题意，此时直线方程为y＝2x；当所求直线不过原点时，可设它的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，把点(1,2)的坐标代入得eq\f(3,a)＝1，解得a＝3，故此时直线的方程为x＋y－3＝0.6．已知直线PQ的斜率为－eq\r(3)，将直线绕点P顺时针旋转60°所得到的直线的斜率为()\r(3)B．－eq\r(3)C．0D．1＋eq\r(3)答案：A解析：直线PQ的斜率为－eq\r(3)，则直线PQ的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝eq\r(3).7．两平行线l1：x－y＋2＝0与l2：2x＋ay＋c＝0(c＞0)之间的距离是eq\r(2)，则eq\f(a－2,c)的值是()\f(1,2)B．1C．－1D．－eq\f(1,2)答案：D解析：根据两直线平行得：eq\f(1,2)＝eq\f(－1,a)≠eq\f(2,c)，所以a＝－2.又两直线的距离是eq\r(2)，所以有：eq\r(2)＝eq\f(|c－4|,\r(22＋22))，即|c－4|＝4，所以c＝8或c＝0(舍去)，所以a＝－2，c＝8代入eq\f(a－2,c)＝eq\f(－2－2,8)＝－eq\f(1,2).8．已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0＜x0＋2，则eq\f(y0,x0)的取值范围是()A．[－eq\f(1,3)，0]B．(－eq\f(1,3)，0)C．(－eq\f(1,3)，＋∞)D．(－∞，－eq\f(1,3))∪(0，＋∞)答案：D解析：∵点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，∴eq\f(|x0＋3y0－2|,\r(10))＝eq\f(|x0＋3y0＋6|,\r(10))，化为x0＋3y0＋2＝0.又y0＜x0＋2，设eq\f(y0,x0)＝kOM，当点位于线段AB(不包括端点)时，则kOM＞0，当点位于射线BM(不包括端点B)时，kOM＜－eq\f(1,3).∴eq\f(y0,x0)的取值范围是(－∞，－eq\f(1,3))∪(0，＋∞)．故选D.9．已知点A(－3,8)和B(2,2)，在x轴上求一点M，使|AM|＋|BM|取最小值，则点M的坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(4,0)D．(－4,0)答案：B10．直线ax＋y＋1＝0与连接A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，则a的取值范围是()A．[－1,2]B．(－∞，－1)∪[2，＋∞)C．[－2,1)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案：D解析：直线ax＋y＋1＝0过定点C(0，－1)，当直线处于AC与BC之间时必与线段AB相交，应满足－a≥eq\f(3＋1,2)，或－a≤－eq\f(2＋1,3)，即a≤－2，或a≥1.11．过点A(1，－1)向直线l作垂线，垂足为B(－1,3)，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积是()A．4B．6C．9\f(49,4)答案：D解析：因为A(1，－1)，B(－1,3)，所以直线AB的斜率是kAB＝eq\f(3－－1,－1－1)＝－2，所以直线l的斜率k＝eq\f(1,2)，直线l方程是：y－3＝eq\f(1,2)(x＋1)，即直线方程是x－2y＋7＝0，直线l与坐标轴的交点坐标是(0，eq\f(7,2))，(－7,0)，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积S＝eq\f(1,2)×7×eq\f(7,2)＝eq\f(49,4).12．如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．2eq\r(10)B．6C．3eq\r(3)D．2eq\r(5)答案：A解析：分别求P关于直线x＋y＝4及y轴的对称点，为P1(4,2)、P2(－2,0)，由物理知识知，光线所经路程即为|P1P2|＝2eq\r(10).二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．若直线l1的倾斜角为30°，l1⊥l2，则直线l2的斜率为________．答案：－eq\r(3)解析：l1，l2的斜率之积为－1.14．已知直线l与直线3x＋4y－1＝0平行，且与两坐标轴围成的图形面积是6，则直线l的方程为________．答案：3x＋4y＋12＝0，或3x＋4y－12＝0解析：设直线l的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－1)，则直线l与两坐标轴的交点是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,3)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(m,4)))，所以有eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m,3)))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))＝6，解得m＝±12，即直线l的方程是3x＋4y＋12＝0，或3x＋4y－12＝0.15．已知实数x，y满足5x＋12y＝60，则eq\r(x2＋y2)的最小值等于__________．答案：eq\f(60,13)解析：∵eq\r(x2＋y2)表示直线上任一点到原点的距离，∴由几何意义知eq\r(x2＋y2)的最小值即为原点到直线5x＋12y＝60的距离d＝eq\f(60,\r(25＋144))＝eq\f(60,13).16．已知过点A(3，－2)的直线l交x轴正半轴于点B，交直线l1：x－2y＝0于点C，且|AB|＝2|BC|，则直线l在y轴上的截距是________．答案：7解析：因为B在x正半轴上，所以A、B在直线l1的同侧，根据|AB|＝2|BC|知点C的纵坐标是1，点C的坐标是C(2,1)，因此直线AC即直线l的方程为：y＋2＝－3(x－3)，所以直线l在y轴上的截距是7.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)求过直线l1：2x＋y－5＝0，l2：3x－y－5＝0的交点P，且平行于直线x＋3y－3＝0的直线方程．解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0,3x－y－5＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝1))，再设x＋3y＋c＝0，则c＝－5x＋3y－5＝0为所求．18．(12分)已知点A(－1，－2)和B(－3,6)，直线l经过点P(1，－5)．(1)若直线l与直线AB平行，求直线l的方程；(2)若直线l与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围．解：(1)kAB＝eq\f(6＋2,－3＋1)＝－4，所以直线l与直线AB平行时直线l的方程为y＋5＝－4(x－1)，化简后得：4x＋y＋1＝0.(2)根据P，A，B的位置分析可知，当直线l与线段AB相交时，kPB≤k≤kPA.因为kPA＝eq\f(－2＋5,－1－1)＝－eq\f(3,2)，kPB＝eq\f(6＋5,－3－1)＝－eq\f(11,4)，直线l的斜率k的取值范围为[－eq\f(11,4)，－eq\f(3,2)]．19．(12分)已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的高线CH所在的直线方程为x－2y－5＝0，AC边上的中线BM所在的直线方程为2x－y－1＝0.求：(1)顶点B的坐标；(2)BC边的垂直平分线方程．解：(1)∵kCH＝eq\f(1,2)，AB⊥CH，∴kAB＝－2，∴AB边所在直线方程为y－1＝－2(x－5)，整理得2x＋y－11＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－11＝0，,2x－y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5，))B点的坐标为(3,5)，(2)设C(x0，y0)，则M(eq\f(x0＋5,2)，eq\f(y0＋1,2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－2y0－5＝0，,2×\f(x0＋5,2)－\f(y0＋1,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(19,3)，,y0＝－\f(17,3)，))∴C(－eq\f(19,3)，－eq\f(17,3))，则BC中点为(－eq\f(5,3)，－eq\f(1,3))，∴kBC＝eq\f(8,7)，BC垂直平分线的斜率为k＝－eq\f(7,8)，BC垂直平分线的方程为y＋eq\f(1,3)＝－eq\f(7,8)(x＋eq\f(5,3))，整理得21x＋24y＋43＝0.20．(12分)已知直线l1：5x－2y＋3m(3m＋1)＝0和直线l2：2x＋6y－3m(9m＋20)＝(1)两直线l1，l2交点的坐标．(2)m取何值时，直线l1与l2的交点到直线4x－3y－12＝0的距离最短？最短距离是多少？解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－2y＋3m3m＋1＝0,2x＋6y－3m9m＋20＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3m,y＝\f(9,2)m2＋9m))，∴两直线的交点P(3m，eq\f(9,2)m2＋9m)．(2)设点P到直线4x－3y－12＝0的距离为d，则d＝eq\f(|4·3m－3·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)m2＋9m))－12|,\r(42＋－32))＝eq\f(3,10)|9m2＋10m＋8|＝eq\f(27,10)|(m＋eq\f(5,9))2＋eq\f(47,92)|，∴当m＝－eq\f(5,9)时，点P到直线4x－3y－12＝0的距离d有最小值，最小值为dmin＝eq\f(47,30).21．(12分)已知点A(－3,5)、B(2,15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|最小，并求出这个最小值及点P的坐标．解：设点A关于直线l的对称点为A′(a，b)，则由AA′⊥l和AA′的中点在直线l上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－5,a＋3)×\f(3,4)＝－1,3×\f(a－3,2)－4×\f(b＋5,2)＋4＝0))解得a＝3，b＝－3.即A′(3，－3)．∵|PA|＝|PA′|，∴|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|＝5eq\r(13)，又∵kA′B＝－18，∴A′B所在直线的方程为y＋3＝－18(x－3)，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋4＝0,y＋3＝－18x－3))，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3)).22．(12分)在△ABC中，BC边上的高所在直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A与点C的坐标．解：设点A的坐标为(x1，y1)，则eq\b\lc